【数学】2019届一轮复习苏教版第2章函数概念与基本初等函数I第10讲学案
第10讲 二次函数与幂函数
考试要求 1.幂函数的概念，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象与性质(A级要求)；2.二次函数的图象与性质及应用(B级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.
(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.
解析 由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合.
答案 1或2
3.(必修1P47习题9改编)已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是________.
解析 由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.
答案 6
4.(2016·全国Ⅲ卷改编)已知a＝2，b＝3，c＝25，则a，b，c的大小关系为________.
解析 因为a＝2＝4，b＝3，c＝5又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.
答案 c>a>b
5.(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________.
解析 由题意知，y＝1－x，
∵y≥0，x≥0，∴0≤x≤1，
则x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋.
当x＝时，x2＋y2取最小值，
当x＝0或x＝1时，x2＋y2取最大值1，
∴x2＋y2∈.
答案
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
考点一 幂函数的图象和性质
【例1】 (1)(2018·连云港模拟)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)
>1，
即a0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，
借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是________(填序号).
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈ )的图象关于y轴对称，且在(0，
＋∞)上是减函数，则n的值为________.
解析 (1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，
∴α＝，因此f(x)＝x，根据图象的特征，③正确.
(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.
答案 (1)③ (2)1
考点二 求二次函数的解析式
【例2】 (1)(2018·南京模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和
(－2，0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________.
解析 (1)设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，
由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
(2)∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4，3)，
∴3a＝3，a＝1，
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
答案 (1)x2＋2x (2)f(x)＝x2－4x＋3
规律方法 求二次函数解析式的方法
【训练2】 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)(2017·南京模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，
由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，
∴f(x)＝bx2＋a(b＋2)x＋2a2为偶函数，则a(b＋2)＝0，当a＝0时，f(x)＝bx2，此时它的值域不可能为(－∞，4]；
∴当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.
答案 (1)x2＋2x＋1 (2)－2x2＋4
考点三 二次函数的图象与性质(多维探究)
命题角度1 二次函数的单调性
【例3－1】 (1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________.
(2)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
解析 (1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件.
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0].
(2)由题意知a<0，又＝－1，∴a＝－3.
答案 (1)[－3，0] (2)－3
命题角度2 二次函数的最值
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值.
(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
解 (1)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，
且对称轴为x＝.
(ⅰ)当0<≤1，即a≥1时，
f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0，1]内，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增.
∴f(x)min＝f ＝－＝－.
(ⅱ)当>1，即04时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，故此时a不存在.
②当－∈[－2，2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f ＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，
故－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，
得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，
综上得－7≤a≤2.
命题角度3 二次函数的图象及应用
【例3－3】 (2016·全国Ⅱ卷改编)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝________.
解析 由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.又y＝|x2－2x－3|＝
|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称.
不妨设x1>2a.
答案 (0.2)a>>2a
5.若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是________.
解析 f(x)＝
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝＋a－，
x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝－a－.
①当>1，即a>2时，f(x)在上是递减的，在上是递增的，不合题意；
②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；
③当<0，即a<0时，不符合题意.
综上，a的取值范围是[0，2].
答案 [0，2]
6.(2018·如东高级中 期中)已知a为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，a]，都有f(x)∈[－a，a]，则实数a的取值范围为________.
解析 当00，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0].
二、选做题
11.(2015·四川卷改编)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为________.
解析 当m＝2时，f(x)＝(n－8)x＋1在区间上单调递减，则n－8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值.当m∈[0，2)时，f(x)的图象开口向下且过点(0，1)，要使f(x)在区间上单调递减，需－≤，即2n＋m≤18，又n≥0，则mn≤m＝－m2＋9m.而g(m)＝－m2＋9m在区间[0，2)上为增函数，∴m∈[0，2)时，g(m)2时，f(x)的图象开口向上且过点(0，1)，要使f(x)在区间上单调递减，需－≥2，即2m＋n≤12，而2m＋n≥2，所以mn≤18，当且仅当即时，取“＝”，
此时满足m>2.故(mn)max＝18.
综上可得，(mn)max＝18.
答案 18
12.(2016·浙江卷)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a)；
(ⅱ)求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a).
解 (1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，
当x＞1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a).
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2，2a].
(2)(ⅰ)设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
所以由F(x)的定义知m(a)＝min，
即m(a)＝
(ⅱ)当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)≤max＝2＝F(2).
当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)≤max
＝max＝max.
所以，M(a)＝
