2019届二轮复习解题技巧 概 率学案(全国通用)
第1讲 概 率
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合,考查知识的综合应用能力.
热点一 古典概型
古典概型的概率
P(A)==.
例1 (2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解 (1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,
则所求事件的概率为P==.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有
{A1,B2},{A1,B3},共2个,
则所求事件的概率为P=.
思维升华 求古典概型概率的步骤
(1)反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意.
(2)判断试验是否为古典概型,并用字母表示所求事件.
(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.
(4)计算事件A的概率P(A)=.
跟踪演练1 (2018·北京朝阳区模拟)今年,楼市火爆,特别是一线城市,某一线城市采取“限价房”摇号制度,客户以家庭为单位进行抽签,若有n套房源,则设置n个中奖签,客户抽到中奖签视为中签,中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号,现共有20户家庭去抽取6套房源.
(1)求每个家庭中签的概率;
(2)已知甲、乙两个友好家庭均已中签,并共同前往某指定小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元27,28两个楼层共6套房,其中,第27层有2套房,房间号分别记为2702,2703;第28层4套房,房间号分别记为2803,2804,2806,2808.
①求该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数;
②求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率.
解 (1)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的,
所以每个家庭中签的概率P==.
(2)①该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数
==2771.
②将这6套房编号,记第27层2套房分别为X,Y,第28层4套房分别为a,b,c,d,
则甲、乙两个家庭选房可能的结果有
(X,Y),(X,a),(X,b),(X,c),(X,d),(Y,a),(Y,b),(Y,c),(Y,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15种.
其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有(X,Y),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共7种,
所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为P=.
热点二 几何概型
1.几何概型的概率公式:
P(A)=.
2.几何概型应满足两个条件:基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性.
例2 (1)(2018·北京朝阳区模拟)若在集合{x|-2
1,可以求得m>2,
在集合中随机取大于2的数,
满足条件的取值所对应的几何度量就是区间的长度,为3-2=1,
而在集合中随机取一个数所对应的几何度量是区间[-2,3]的长度,为3-(-2)=5,
所以对应事件的概率为P=.
(2)(2018·衡水调研)甲、乙两人各自在400 m长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设甲、乙两人跑的路程分别为x m,y m,则有表示的区域为如图所示的正方形OABC,面积为160 000 m2,相距不超过50 m,满足|x-y|≤50,表示的区域如图阴影部分所示,面积为160 000-×××2=37 500(m2),所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率为P==.
思维升华 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.
跟踪演练2 (1)(2018·安徽省“皖南八校”联考)2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行,为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值P,某学生设计了如下的计算机模拟,通过计算机模拟在长为8、宽为5的长方形内随机取了N个点,经统计落入五环及其内部的点数为n个,圆环半径为1,则比值P的近似值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设奥运五环所占的面积为S1,矩形的面积为S=8×5=40.
由在长方形内随机取了N个点,经统计落入五环及其内部的点数为n个,
根据面积比的几何概型概率公式得=,
则S1=S=,
单独五个环的面积为S3=5π×12=5π,
所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值为P==.
(2)(2018·延安模拟)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻,时长均为5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是________.
答案
解析 由题意知这是一个几何概型,
∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻,
∴事件总数包含的时间长度是30,
又新闻时长均为5分钟,
∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是P=.
热点三 互斥事件与对立事件
1.事件A,B互斥,那么事件A∪B发生(即A,B中至少有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.在一次试验中,对立事件A和B不会同时发生,但一定有一个发生,因此有P(B)=1-P(A).
例3 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
解 记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak之间彼此互斥.
(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.
(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念,要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件.在判断这些问题时,先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生),然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生).在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌,全面考虑,防止出现错误.
跟踪演练3 (1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A=“所取的3个球中至少有1个白球”,则事件A的对立事件是( )
A.1个白球2个红球
B.2个白球1个红球
C.3个都是红球
D.至少有一个红球
答案 C
解析 事件A=“所取的3个球中至少有1个白球”,说明有白球,白球的个数可能是1或2,事件“1个白球、2个红球”,“2个白球、1个红球”,“至少有一个红球”与A都能同时发生,既不互斥,也不对立.
(2)现有4张卡片,正面分别标有1,2,3,4,背面完全相同.将卡片洗匀,背面向上放置,甲、乙二人轮流抽取卡片,每人每次抽取一张,抽取后不放回,甲先抽.若二人约定,先抽到标有偶数的卡片者获胜,则甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 甲抽取一张卡片获胜的概率为;甲抽取两张卡片获胜的概率为××1=,
所以甲获胜的概率为+=.
真题体验
1.(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______.
答案
解析 从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:
基本事件的总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,
∴所求概率P==.
2.(2016·全国Ⅰ改编)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是________.
答案
解析 如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P==.
3.(2016·北京改编)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则下列说法正确的是______.
(1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球;
(2)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多;
(3)乙盒中红球不多于丙盒中红球;
(4)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多.
答案 (2)
解析 取两个球往盒子中放有4种情况:
①红+红,则乙盒中红球数加1;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加1;
③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1;
④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样,所以①和②的情况一样多.③和④的情况完全随机,③和④对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的,所以对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.故(2)正确.
4.(2017·江苏)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________.
答案
解析 设事件“在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D”为事件A,
由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,
∴D=[-2,3].
如图,区间[-4,5]的长度为9,定义域D的长度为5,
∴P(A)=.
押题预测
1.将一颗骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为m和n,则函数y=mx3-nx+1在[1,
+∞)上为增函数的概率是( )
A. B. C. D.
押题依据 古典概型是高考考查概率问题的核心,考查频率很高.古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点.
答案 B
解析 将一颗骰子抛掷两次,所得向上的点数(m,n)的所有事件为(1,1),(1,2),…,(6,6),共36个.由题意可知,函数y=mx3-nx+1在[1,+∞)上单调递增,所以y′=2mx2-n≥0在[1,+∞)上恒成立,所以2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),共6种情况,所以满足条件的共有30种情况,则函数y=mx3-nx+1在[1,+∞)上单调递增的概率为=.
2.已知集合M={x|-1s.
B组 能力提高
11.在掷一个骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A∪发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意有P(A)==,P(B)==,
∴P()=1-P(B)=1-=.
∵表示“出现5点或6点”的事件,因此事件A与互斥,从而P(A∪)=P(A)+P()=+=.
12.某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=ln x与直线x=e,y=0所围成的曲边三角形的面积时,用计算机分别产生了10个在区间[1,e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0,1]
上的均匀随机数yi(i∈N*,1≤i≤10),其数据如下表的前两行.
x
2.50
1.01
1.90
1.22
2.52
2.17
1.89
1.96
1.36
2.22
y
0.84
0.25
0.98
0.15
0.01
0.60
0.59
0.88
0.84
0.10
ln x
0.92
0.01
0.64
0.20
0.92
0.77
0.64
0.67
0.31
0.80
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( )
A.(e-1) B.(e-1)
C.(e+1) D.(e+1)
答案 A
解析 由表可知,向矩形区域内随机抛掷10个点,其中有6个点在曲边三角形内,其频率为=.
∵矩形区域的面积为e-1,
∴曲边三角形面积的近似值为(e-1).
13.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ为锐角的概率是________.
答案
解析 由题意得,连掷两次骰子分别得到点数m,n,
所组成的向量(m,n)的个数为36,
由于向量(m,n)与向量(1,-1)的夹角θ为锐角,
所以(m,n)·(1,-1)>0,
即m>n,满足题意的情况如下:
当m=2时,n=1;
当m=3时,n=1,2;
当m=4时,n=1,2,3;
当m=5时,n=1,2,3,4;
当m=6时,n=1,2,3,4,5,共15种,
故所求事件的概率为=.
14.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关,某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n人进行问卷调查.调查结果表明:女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的,男生喜欢看该节目的占男生总人数的
.随后,该小组采用分层抽样的方法从这n份问卷中继续抽取了5份进行重点分析,知道其中喜欢看该节目的有3人.
(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查,求这两人都喜欢看该节目的概率;
(2)若有99%的把握认为“喜欢看该节目与性别有关”,则参与调查的总人数n至少为多少.
参考数据:
P(K2≥k0)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=,其中n=a+b+c+d.
解 (1)记重点分析的5人中喜欢看该节目的为a,b,c,不喜欢看该节目的为d,e,从5人中随机抽取2人,所有可能的结果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种,则这两人都喜欢看该节目的有3种,
∴P=,即这两人都喜欢看该节目的概率为.
(2)∵进行重点分析的5人中,喜欢看该节目的有3人,故喜欢看该节目的总人数为n,不喜欢看该节目的总人数为n.设这次调查问卷中女生总人数为a,男生总人数为b,a,b∈N*,则由题意可得2×2列联表如下:
喜欢看该节目的人数
不喜欢看该节目的人数
总计
女生
a
a
a
男生
b
b
b
总计
n
n
n
解得a=n,b=n,
∴正整数n是25的倍数,设n=25k,k∈N*,
则a=12k,a=4k,b=3k,b=6k,则K2==k.
由题意得k≥6.635,解得k≥1.59,
∵k∈N*,∴kmin=2,故nmin=50.