广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案

广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案

珠海市2020-2021学年度第一学期高三 摸底测试     数学    2020.9‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2． ‎ A．1 B．‎2 C．−i D．−2i ‎3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有 ‎ A．280种 B．350种 C．70种 D．80种 ‎4．一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与平面所成的角为 ‎ A．30° B．45° C．15° D．60°‎ ‎5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若定义在上的奇函数f(x)在单调递增，且，则满足的解集是 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是 ‎ A． B．‎2 C． D． ‎ 16‎ ‎8．直线是曲线和曲线的公切线，则 ‎ A．2 B． C． D． ‎ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。‎ ‎9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．如图是函数的部分图象，则 ‎ ‎(第10题图)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为　　‎ ‎…‎ ‎…‎ 其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，‎ 16‎ ‎3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则 ‎ A．　　B． 　　C．　　D．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于A，B两点，、都与轴垂直，则=________． ‎ ‎14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________（用数字作答）． ‎ ‎15．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则　　　　． ‎ ‎16．一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为　　　　　． ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ 在①， ②， ③‎ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．‎ 问题：是否存在非直角，它的内角的对边分别为，‎ 且，，________?‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18．（12分）‎ 已知数列是正项等比数列，满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ 16‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎19．（12分）如图，三棱锥中，，，平面PBC⊥底面ABC，，分别是，的中点． ‎ ‎（1）证明：PD⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ ‎(第19题图)‎ ‎20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．‎ 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 ‎(第20题图)‎ 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 质量指标值 频数 ‎(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．‎ 16‎ ‎(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）讨论的零点的个数．‎ ‎22．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2) 若，求直线的方程;‎ ‎(3)若为直线上的动点，求的最小值．‎ 16‎ 珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试     ‎ 数学    2020.9解析及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则 A A． B． C． D．‎ ‎2． B A．1 B．‎2 C．−i D．−2i ‎3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B A．280种 B．350种 C．70种 D．80种 ‎4．一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与所成的角为 D A．30° B．45° C．15° D．60°‎ ‎5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A A． B． C． D．‎ ‎6．若定义在上的奇函数f(x)在单调递增，且，则满足的解集是 D A． B． C． D． ‎ ‎7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是 C A． B．‎2 C． D． ‎ 16‎ ‎8．直线是曲线和曲线的公切线，则 C A．2 B． C． D． ‎ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。‎ ‎9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为 AB A． B． C． D． ‎ ‎10．如图是函数的部分图象，则 BCD A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知，则 ACD A． B． C． D． ‎ ‎12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为　　‎ ‎…‎ ‎…‎ 其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则 CD 16‎ A．　　B． 　　C．　　D．‎ 提示：‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于A，B两点，、都与轴垂直，则=________．‎ ‎14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________（用数字作答）． 2046‎ ‎15．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则　　　　．‎ ‎16．一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为　　　　　．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ 在①， ②， ③‎ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．‎ 问题：是否存在非直角，它的内角的对边分别为，‎ 16‎ 且，，________?‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ 解：中，由 得 ‎ ‎ ………………………………………………………………………1分 ‎∴………………………………………………………………………2分 ‎∵不是直角三角形 ‎∴‎ ‎∴………………………………………………………………………3分 即………………………………………………………………………4分 ‎∵‎ ‎∴………………………………………………………………………6分 选①：由，及 得…………………………………………………7分 由 得……………………………………………………9分 不合理，故不存在．………………………………………………………………………10分 选②：由 得………………………………………………………………………8分 ‎∴………………………………………………………………………9分 ‎∴为直角，不合题设，故不存在．…………………………………………………10分 选③：由 ‎ 16‎ 得．………………………………………………………10分 ‎18．（12分）‎ 已知数列是正项等比数列，满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）设正项等比数列的公比为 由得解得………………………………2分 所以的通项公式 ……………………………………………………………4分 ‎（2）………………………………………………6分 故………………………………………………………………8分 所以的前项和:‎ ‎．……………………………………………12分 ‎19．（12分）如图，三棱锥中，，‎ 16‎ ‎，平面PBC⊥底面ABC，，分别是，的中点． ‎ ‎（1）证明：PD⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ ‎（1）证明：∵，是中点 ‎∴PD⊥BC…………………………………………1分 ‎∵平面PBC⊥底面ABC，PD平面PBC，平面PBC底面ABC ‎∴PD⊥平面ABC.………………………………………………4分 ‎（2）解：如图，取中点，连接，‎ 则………………………………………………5分 ‎∵，是的中点，‎ ‎∴，……………………………………………………6分 ‎，‎ ‎∴，…………………………………………………………7分 ‎∵PD⊥平面ABC ‎∴，‎ ‎∴平面………………………………………………………………………8分 ‎∴………………………………………………………………………9分 ‎∴为二面角的平面角.……………………………………………………10分 在中，…………………………………………11分 ‎∴二面角的正切值为2．……………………………………………………………12分 16‎ ‎20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．‎ 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 质量指标值 频数 ‎(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．‎ ‎(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．‎ 解：(1)由题设知，………………………………………1分 的分布列为 ‎………………………………………………………………………3分 16‎ 设备升级前利润的期望值为 ‎……………………4分 ‎∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．………………………5分 ‎ (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)‎ 则………………………………………………………………………6分 患者购买一件合格品的费用的分布列为 ‎……………………………8分 则………………………………………………10分 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 ‎………………………………………………………………………12分 ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）讨论的零点的个数．‎ 解：（1）∵‎ ‎∴…………………………………………………1分 16‎ 时时，时.……………………………3分 ‎∴时，的减区间是，增区间是．………………………4分 ‎（2）①时，∵且的减区间是，增区间是 ‎∴是的极小值，也是最小值…………………………………5分 ‎，………………………………6分 取且……………………………7分 则…………………………8分 ‎∴在和上各一个零点………………………………………9分 ‎②时，只一个零点…………………………………10分 综上，时，有两个零点；…………………………………………11分 时，一个零点．………………………………………………………………………12分 ‎22．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2) 若，求直线的方程;‎ ‎(3)若为直线上的动点，求的最小值．‎ 解：(1)由到直线的距离为 得 16‎ 得或………………………………………………………2分 ‎∵‎ ‎∴…………………………………………………………………3分 ‎∴抛物线.……………………………………………………4分 ‎(2) 由知 ‎∴…………………………………………………………………5分 设切点， ‎ 则 ‎ 即 ‎……………………………………………………6分 ‎∵，‎ ‎∴即………………………………7分 ‎∴．………………8分 ‎(3)若为直线上的动点，设，则 由(2)知 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴与联立消得 ‎…………“＊” ……………………………………9分 16‎ 则，是“＊”的二根 ‎∴………………………………………………………………………10分 ‎………………………………………………………………………11分 当时，得到最小值为．…………………………12分 16‎