数学文卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期摸底考试（2017

数学文卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期摸底考试（2017

广东省深圳市南山区2018届高三上学期入学摸底考试 数学（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若复数满足，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.在正方体中，是线段上的动点，是线段上的动点,且不重合，则直线与直线的位置关系是( )‎ A．相交且垂直 B．共面 C．平行 D．异面且垂直 ‎5.若满足约束条件则的最大值是( )‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎6.命题“实数的平方都是正数”的否定是( )‎ A．所有实数的平方都不是正数 B．所有的实数的平方都是正数 ‎ C．至少有一个实数的平方是正数 D．至少有一个实数的平方不是正数 ‎7. 过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是( )‎ A． B． C． 1 D．2 ‎ ‎8.已知单位向量满足，则与的夹角的大小是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，输出的的值是( )‎ A． ‎ B．0 C. D． ‎ ‎10. 设的内角的对边分为，.若是的中点，则( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎11．若双曲线的左支与圆相交于两点，的右焦点为，且为正三角形，则双曲线的离心率是( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎12.某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是( )‎ A．2 B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则的大小关系是 .（用“ ”连接）‎ ‎14. 设是圆上任意一点，定点，则的概率是 .‎ ‎15.函数的部分图象如图所示，其单调递减区间为 ，则 .‎ ‎16.若关于的方程有三个解，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当取得最小值时，求的值.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，是上的一点，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：平面.‎ ‎19. 某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.‎ ‎ ‎ ‎（1）完成频率分布直方图；‎ ‎（2）根据（1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩（同一组中的数据用改组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为，并假设，且取得每一个可能值的机会相等，在（2）的条件下，求概率.‎ ‎20．已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为 ‎.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线，使其满足:①直线的斜率与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在直线上.若存在，求出直线和的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的极小值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.与相交于两点.‎ ‎（1）把和的方程化为直角坐标方程，并求点的直角坐标；‎ ‎（2）若为上的动点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意的实数都有，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BACDC 6-10: DBDCB 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，又，解得.‎ 所以数列的公差.‎ 所以.‎ ‎（2）令，即，解得.‎ 又，‎ 所以，当取得最小值时，或6.‎ ‎18.（1）如图，连接，设.‎ ‎∵底面为菱形，∴是的中点，‎ 又为的中点，所以，‎ 又因为平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）因为底面为菱形，所以.‎ 又底面，平面，所以.‎ 因为，所以平面，平面，所以.‎ 如图，连接.‎ 由题可知，,‎ ‎,‎ 故，‎ 从而.‎ 所以，又，‎ 所以，由此知.‎ 又，所以平面.‎ ‎19.解：（1）频率分布直方图如图：‎ ‎（2），‎ 即全班同学平均成绩可估计为78分.‎ ‎（3），‎ 故.‎ ‎20.解：（1）由已知得 解得，‎ ‎∴椭圆的方程.‎ ‎（2）设直线的方程为，代入，得 ‎.‎ 设，又点在上，‎ ‎∴.‎ 用代替上式中的，可得.‎ 故中点横坐标为，‎ 解得.‎ ‎∴直线的方程分别为或.‎ ‎21.解：（1）.‎ 当时，在上为增函数，函数无极小值；‎ 当时，令，解得.‎ 若，则单调递减；‎ 若，则单调递增.‎ 故函数的极小值为.‎ ‎（2）证明：由题可知.‎ 要证，即证，‎ 不妨设，只需证，令，‎ 即证，要证，只需证，令，‎ 只需证，∵，‎ ‎∴在内为增函数，故，∴成立.‎ 所以原命题成立.‎ ‎22.解：（1）.‎ 解得或.‎ ‎（2）设，不妨设，‎ 则 ‎，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎23.解：（1）解不等式，即，等价于：‎ 或或 解得，或，或.‎ 所以所求不等式的解集为或.‎ ‎（2）‎ 当时，.‎ 又因为对于任意的实数都有，所以的取值范围是.‎