山西省太原五中2020届高三第一次模拟（4月）数学（文）试题 Word版含解析

山西省太原五中2020届高三第一次模拟（4月）数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1. 已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.‎ ‎2. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可得 ：，且：，‎ 据此有：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的值．‎ ‎【详解】，‎ 即.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．‎ ‎4. 若 ，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，得或，所以，故选A．‎ ‎【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．‎ ‎【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎5. 已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为( )‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义，设点在双曲线右支上，则，设 - 24 -‎ ‎，再根据二次函数的性质计算可得；‎ ‎【详解】解：由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题.‎ ‎6. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）‎ ‎① 若，则，中至少有一个不小于；‎ ‎②是的充要条件；‎ ‎③；‎ ‎④ 函数是奇函数，则的图像关于对称.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用逆否命题的真假判断①的正误；由可得，反之不成立，取即可判断；利用全称命题直接判断③的正误即可；利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误.‎ ‎【详解】解：对于①，逆否命题为：，都小于1，则是真命题 所以原命题是真命题 对于②，，反之不成立，取，不能说，所以②是假命题；‎ 对于③，，，；显然是真命题；‎ 对于④，函数是奇函数，函数的对称中心为，则的图象是的图象向右平移1个单位得到的，所以关于对称．是真命题；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称性，充要条件，是基础题．‎ - 24 -‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图.则输出的所有点（ ）‎ A. 都在函数的图象上 B. 都在函数的图象上 C. 都在函数的图象上 D. 都在函数的图象上 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出循环的每一步，根据输出的点的坐标可判断出点符合哪一个函数的解析式.‎ ‎【详解】开始：，，进行循环：‎ 输出，，，‎ 输出，，，‎ 输出，，，‎ 输出，，，因为，退出循环，‎ 则输出的所有点、、、都在函数的图象上.‎ 故选：C.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.‎ ‎8. 已知函数满足：且．（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】可设，则f（x）满足题意.‎ 易知但1＞−5,排除A.‎ 但2＜3,排除C.‎ 排除D.‎ 故选B.‎ ‎9. 函数（）的图象大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．‎ ‎【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；‎ - 24 -‎ x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．‎ ‎10. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列和等比数列的性质求出，的值，代入得答案.‎ ‎【详解】在等差数列中，由，得，，，‎ 在等比数列中，由，得，，，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题.‎ ‎11. 抛物线的焦点为，点是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得的外接圆的圆心一定在抛物线上，且圆心在的垂直平分线上，所以，从而求出外接圆的半径以及圆的面积；‎ ‎【详解】解：因为的外接圆与抛物线的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，则的外接圆的圆心一定在抛物线上.又因为圆心在的垂直平分线上，，，则此外接圆的半径，故此外接圆的面积，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A. 14 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】还原三视图如下：‎ - 24 -‎ 其表面积为 故选 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、，的平均数为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平均数公式可求得结果.‎ ‎【详解】因为样本数据、、、的平均数为，则，‎ 所以数据、、、的平均数为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 已知，满足约束条件，若的最大值为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ 分析】‎ 画出可行域，当直线的截距最大时，取得最大值，若，则目标函数在点取得最大值，若，则目标函数在点取得最大值，分别求解即可得到答案．‎ ‎【详解】画出，满足的可行域（见下图阴影部分），‎ 目标函数可化为，‎ 若，则目标函数在点取得最大值，‎ 解方程，得，则，解得，不满足题意；‎ 若，则目标函数在点取得最大值，‎ 解方程，得，则，解得，满足题意．‎ 故答案为2.‎ ‎【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档题．‎ ‎15. 函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称，则的最小正值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于轴对称，可得出关于的等式，即可求得的最小正值.‎ - 24 -‎ ‎【详解】函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称，‎ 则平移后函数的解析式为，‎ ‎，，‎ 当时，取得最小正值，此时，因此，的最小正值为.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及函数图象的对称性，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎16. 已知，若满足有四个，则的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 满足的有个，等价于方程有个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出的取值范围.‎ ‎【详解】满足的有个，方程有4个根，‎ 设，则，令，得.‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，，‎ 画出函数的大致图象，如图所示：‎ - 24 -‎ ‎，‎ 保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，‎ 即可得到函数的图象如下图所示：‎ ‎ ‎ 令，则，‎ 所以要使方程有个根，‎ 则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，‎ 设，因为，则只需，解得：，‎ - 24 -‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17. 已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）等比数列中，，是和的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；‎ ‎（2）把（1）中求得的结果代入，求出，利用错位相减法求出.‎ ‎【详解】（1）设数列的公比为，‎ 因为，所以，.‎ 因为是和的等差中项，所以.‎ 即，化简得 因为公比，所以.‎ 所以；‎ ‎（2）因为，所以，所以.‎ 则，①，‎ ‎，②，‎ - 24 -‎ ‎①②得，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查了等差、等比中项的概念的应用，以及错位相减法，考查运算能力，属中档题.‎ ‎18. 如图，四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，，.‎ ‎（1）若，求证：//平面；‎ ‎（2）若，且三棱锥的体积为，求.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，根据四边形ABCD为平行四边形，可得//，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.‎ ‎（2）利用正弦定理，可得，进一步可得，然后根据，可得，最后利用勾股定理，可得结果.‎ ‎【详解】（1）连接交于点，连接.‎ 如图 - 24 -‎ 由四棱柱的性质可知//，‎ 且，则//.‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，∴.‎ 同理，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴//.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴//平面.‎ ‎（2）∵，∴.‎ 又，∴.‎ 由正弦定理可得，‎ 解得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即.‎ 又平面ABCD，即平面ABCD，‎ ‎∴，CD，CA两两垂直.‎ - 24 -‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.‎ ‎19. 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.‎ 组数 分组 ‎“环保族”人数 占本组的频率 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这 - 24 -‎ 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；‎ ‎（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，并在这人中选取人作为记录员，求选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出、、；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，能估计这人年龄的平均值；‎ ‎（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，中选人，分别记为、、、、，中选人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）由题意得：；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值为：；‎ ‎（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，‎ 从中选：人，分别记为、、、、，‎ 从中选：人，分别记为、、、，‎ 在这人中选取人作为记录员，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、‎ - 24 -‎ ‎、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，‎ 选取的名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，‎ 因此，选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.‎ ‎【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题.‎ ‎20. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 - 24 -‎ ‎【详解】（1）由得，‎ ‎∴ 圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设，则 ‎∵ 点为弦中点即，‎ ‎ ‎ ‎∴即，‎ ‎∴ 线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，‎ - 24 -‎ 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．‎ 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 ‎21. 已知函数，，函数在点处的切线与函数相切.‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，与函数的解析式联立，由可求得的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；‎ ‎（2）要证明，即证，即证，求出函数的最小值，并利用导数求出函数的最大值，由此可得出结论.‎ ‎【详解】（1）切点，，则，.‎ 所以，函数在点处的切线方程为，即.‎ 函数在点处的切线与函数相切.‎ - 24 -‎ 联立，化为，‎ ‎，，解得.‎ ‎，所以，函数值域为；‎ ‎（2）要证，即证，即证.‎ 设，，则函数的定义域为.‎ ‎，.‎ 当时，，此时，函数单调递增；‎ 当时，，此时，函数单调递减.‎ 所以，函数的最大值为.‎ 所以，，但是函数的最小值和函数的最大值不在同一处取得，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，二次函数值域的求解，同时也考查了函数不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于难题.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P(2，0)．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设点Q与点G的极坐标分别为，(2，π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．‎ - 24 -‎ ‎【答案】(1) y2＝8x， (t为参数)．(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线l的参数方程；（2）先求出直线l的参数方程为，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得到t2－8t－32＝0，利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义求出|AB|=16, 再求点G到直线l的距离，即得△GAB的面积．‎ ‎【详解】(1)曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，‎ 其直角坐标方程为y2＝8x，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将点的极坐标化为直角坐标得(0，－2)，易知直线l的倾斜角α＝，‎ 所以直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，‎ 整理得t2－8t－32＝0，Δ＝(8)2＋4×32＝255＞0，‎ 设t1，t2为方程为t2－8t－32＝0的两个根，则t1＋t2＝8，t1·t2＝－32，‎ 所以.‎ 由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2，0)，易求点G到直线l的距离，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的写法，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ - 24 -‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23. （1）若、均为正数，且.证明：；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入可得，由三元均值不等式，即可得证；‎ ‎（2）先由方程的根为求出的值，然后代入不等式，解不等式验证即可，进而可得出实数的值.‎ ‎【详解】（1）、均为正数，且，‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 因此，；‎ ‎（2）由题意可知方程的根为，则，解得或.‎ ‎①当时，原不等式为.‎ 当时，由，此时；‎ 当时，由，得，此时；‎ 当时，由，此时.‎ 所以，不等式的解集为，不合乎题意；‎ ‎②当时，原不等式为.‎ 当时，由，此时；‎ - 24 -‎ 当时，由，解得，此时；‎ 当时，由，此时.‎ 所以，不等式的解集为，合乎题意.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎