四川省达州市2020高三第一次模拟数（理）答案

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理科数学第 1 页,共 5 页 四川省达州市普通高中 2020 届第一次模拟考试 理科数学参考答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分。 3．解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题不给中间分。 一、选择题： 1. D 2. B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8. A 9.D 10. D 11.C 12.A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．1 14． 3 15．      3 2 0或3 4 1 0x y x y 16．  4 3 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)∵  12nnaa( *)Nn ， ∴  1 1 2nnaa ，………………………………………………………………2 分 ∵ 1 1a ， ∴数列{}na 是以1为首项，以 1 2 为公比的等比数列，………………………………3 分 所以， () 111 2 n na ，…………………………………………………………………5 分 即数列 的通项公式为  1 1 2n na ．…………………………………………………6 分 (2)∵ ， 1 n n bna ， ∴ 12n nbn，…………………………………………………………………………7 分 ∴    12nnS b b b ( ) ( )       0 1 12 2 2 1 2n n ( ) ( )   1 1 2 1 1 2 2 n nn……………………………………………………………10 分    2112122 n nn． 所以，    2112122 n nS n n ． ………………………………………………………12 分 18．解：(1)根据条件， 22列联表如下， ……………………………………………3 分 入围 未入围 合计 男 24 76 100 女 20 80 100 合计 44 156 200 理科数学第 2 页,共 5 页 ∴ 2K 的观测值 ().     2200 24 80 20 76 200 2 70644 156 100 100 429k ， …………………………5 分 所以，没有 %90 的把握认为脑力考试后是否入围与性别有关． …………………6 分 (2) 由(1)可知，用分层抽样的方法，以性别为分层依据在入围人员中随机抽取 11 人， 其中男性 6 人，女性 5 人．然后从这 11 人中随机确定 3 人，其 中女性人数为 X ，则 X 可能取值为 , , ,0 1 2 3．……………………………………………………………………7 分 ∴ ()   3 6 3 11 40 33 CPX C ， ()    21 65 3 11 15 51 33 11 CCPX C ， ()    12 65 3 11 12 42 33 11 CCPX C ， ()   3 5 3 11 23 33 CPX C ．…………………………………9 分 ∴求 的分布列为 …………………………………………………10 分 所以， ()        4 5 4 2 150 1 2 333 11 11 33 11EX ．…………………………………12 分 19．(1)证明：∵  23AB ，  2BC ，  4AC ， ∴ 2 2 2AB BC AC ， ∴ BC BA． ………………………………………………………………………1 分 ∵ 1AA 平面 1 1 1A B C ，平面 ∥ABC 平面 ， ∴ 平面 ABC ． …………………………………………………………………2 分 ∵ BC 平面 ， ∴ 1AA BC ． …………………………………………………………………………3 分 ∵ AB ， 1AA 是平面 11AA B B内两相交直线， ∴ BC 平面 ． ………………………………………………………………4 分 ∵ AD 平面 ， ∴ BC AD ． ………………………………………………………………………5 分 (2)解：根据条件， 11∥AA BB ， ∴ 1BB 平面 ． ∴ 1BB BA． …………………………………………………………………………6 分 分别以直线BA ， 1BB ， BC 为 x 轴， y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz ． ………………………………………………………………………………7 分 ∵ 1 4AA ， 11A D DB ， ∴ ( , , )000B ， ( , , )2 3 0 0A ， ( , , )3 4 0D ， ( , , )1 042C ． ∴ ( , , ) 2 3 0 0BA ， ( , , )3 4 0AD ， ( , , )1 3 0 2DC ．…………………………8 分 设 ( , , ) x y zn 是平面 1ADC 的一个法向量， 则  ADn ，  1DCn ， ∴ 0ADn ， 1 0DCn ， ∴ , .      3 4 0 3 2 0 xy yz ， 0 1 2 3 P 4 33 5 11 4 11 2 33 A B C D 1A 1B 1C x y y 理科数学第 3 页,共 5 页 不妨取  8x ，得 ( , , ) 8 2 3 3n ． 又 ( , , ) 2 3 0 0BA 是平面 11BB C C 的 一 个 法 向 量 ， 且 cos | | | |     ， BABA BA nn n    8 2 3 8 85 8585 2 3 ， 所以，平面 1AC D 与平面 所成锐二面角的余弦值为 8 85 85 ． ……………12 分 20．解：(1)设点 M的坐标为( , )xy，因为点 A是( , ) 20，所以，直线AM 的斜率 AMk ()  2 2 y x x ；………………………………………………………………………2 分 同理， BM 的斜率 BMk ()  2 2 y x x ． …………………………………………3 分 由已知有 ()      1 2222 yy x xx ，……………………………………………4 分 化简，得 的轨迹C 的方程为 ()    2 2 122 x yx ．………………………………5 分 (2)由(1)知，轨迹 是以 ( , )10F 与( , )10 为左，右焦点，除去长轴端点的椭圆． …6 分 设 D， E 两点的坐标分别为( , )11xy ，( , )22xy， 由方程组 , .    2 2 12 1 2 x y y x b 得，    223 4 4 4 0x bx b .……………………………………7 分 ∴( ) ( )   224 4 3 4 4 0bb，且   12 4 3 bxx ， ∴ ()    1 2 1 2 14223 by y x x b ，………………………………………………………8 分 ∴ ( , ) ( , )     1 2 1 2 44 33 bbOD OE x x y y ． …………………………………………9 分 ∵直线 2l 的方向向量是 OD OE ， ∴直线 的斜率是 1． 由于直线 经过点 ，所以，直线 的方程是   1yx．………………………10 分 ∴点G 的坐标是 ，是轨迹 的上顶点． ………………………………………11 分 所以，△FGH的周长为42． ………………………………………………………12 分 21．(1) 解：函数 ( ) ln  1f x x x 的定义域是( , )0 ， ……………………………1 分 且 ()    111 xfx xx ， ………………………………………………………………2 分 ∴当 01x 时， ()  0fx ， ()fx递减；当 1x 时， ()  0fx ， 递增．……4 分 所以， ()fx增减区间是( , ]01，递增区间是[ , )1 ． ………………………………5 分 (2)证明：（方法一）由(1)知，当 时， ( ) ( )10f x f ，即 ln  10xx ， ∴ ln  10xx．………………………………………………………………………6 分 ∵ 02a ， ∴ ln  2 2 0x a x ．……………………………………………………………………8 分 理科数学第 4 页,共 5 页 又当 1x 时，    222 2 1 5x x a ， ∴  3 221 1 xx ax ， 即    3 2 221x x a x a ．………………………………………………………………10 分 ∴ ln      3 2 22 2 2 1x x a x a x a x ，即 ( ) ln    3 2 22 1 3x a x a x a ， 所以，当 02a 时， 对一切 ( , ) 1x 恒成立．…12 分 （方法二）设 ( ) ( ) ln    3 2 221g x x a x a x a ，则  0x ， 且 ()()     3261x a x agx x ．…………………………………………………………6 分 设 ( ) ( )   3261h x x a x a，则 ()   2218 1h x x a ． ∵ ， 1x ， ∴ ()    2218 1 0h x x a ，……………………………………………………………8 分 ∴当 时， 在区间( , )1 上递增， ∴当 ， 1x 时， ( ) ( )         221 7 2 2 7 0h x h a a ． ∴ ()  0gx ，即 ()gx在区间 上递增，…………………………………………10 分 ∴ ( ) ( )13g x g ， 所以，当 时， 对一切 恒成立．…12 分 22.解：(1) 分别将 2 2 2xy ， cos  x ， sin  y 代入 cos sin  2 2 4 4     得，    222 4 4x y x y ， ∴圆C 的直角坐标方程为( ) ( )   221 2 1xy ．……………………………………2 分 ∴圆 的圆心坐标为 ( , )12C ． ∵圆心C 在直线 : 3l y mx 上， ∴   23m ，即 1m ， ……………………………………………………………3 分 直线l 的参数方程为 ,  41 31． xt yt (t 为为参数) ． 消去参数t 得直线 的普通方程为   3 4 7 0xy ． …………………………………5 分 (2) 将直线 向左平移 () 0nn 个单位后，得到直线 : ( )    3 4 7 0l x n y ， 即 :    3 4 7 3 0l x y n ． ……………………………………………………………7 分 由题意得， () = +       22 ｜3 1 4 2 7 3｜ 2 34 n ， ………………………………………………9 分 解得，  2n （负值已舍）． …………………………………………………………10 分 23.解：(1) ∵ ( ) | | | |   4f x x a x ， 1a ， ∴ ( ) | | | |   14f x x x ，即 ,, ( ) , , ,      2 5 1 31≤ ≤4 2 5 4． xx f x x xx …………………………………1 分 当 1x 时，由 ()f x x 得，   25xx，解得，  5 3x ，舍． ……………………2 分 当1≤ ≤4x 时，由 得，  3x ，解得， 3 ≤4x ． ………………………3 分 当  4x 时，由 得， 25xx，解得， 45x ．…………………………4 分 所以，不等式 的解集为( , )35 ． ……………………………………………5 分 (2)当 ≥4a 时， () 4≥ 1fx a 恒成立． ………………………………………………6 分 当  4a 时， ( ) | ( ) ( ) |    ≥ 44f x x a x a 理科数学第 5 页,共 5 页 ∴ min() =4f x a ， ……………………………………………………………………7 分 ∴ 44 ≥ 1a a ． ………………………………………………………………………8 分 解得，  0a 或 1≤ 4a ． …………………………………………………………9 分 综上所述，实数a 的取值范围( , ) [ , ) 01 ．……………………………………10 分