浙江省2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第5节数学归纳法选用含解析
第5节 数学归纳法(选用)
考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
知 识 梳 理
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示
[常用结论与易错提醒]
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.( )
解析 对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.(选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
答案 C
3.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析 f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，＝，＝，故f(2)＝＋＋.
答案 D
4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
1)，第一步要证的不等式是________.
解析 当n＝2时，式子为1＋＋<2.
答案 1＋＋<2
5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.
解析 由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.
答案 2k＋1
6.用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________.
解析 因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除.
答案 2 x2k－y2k能被x＋y整除
考点一 用数学归纳法证明代数(或三角)等式
【例1】 用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N*).
证明 (1)当n＝1时，
左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.
规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.
(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.
【训练1】 用数学归纳法证明：当n∈N*时，
cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos nx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z).
解 (1)当n＝1时，等式右边＝－
＝
＝
＝cos x＝等式左边，等式成立.
(2)假设当n＝k时等式成立，
即cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos kx
＝－.
那么，当n＝k＋1时，有cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos kx＋cos(k＋1)x
＝－＋cos(k＋1)x
＝－
＝－
＝－
＝－.
这就是说，当n＝k＋1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*等式都成立.
考点二 用数学归纳法证明不等式
【例2】 (2019·浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn
}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
(1)解 设数列{an}的公差为d，
由题意得解得
从而an＝2n－2，n∈N*.
所以Sn＝n2－n，n∈N*.
由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn).
解得bn＝(S－SnSn＋2).所以bn＝n2＋n，n∈N*.
(2)证明 cn＝＝＝，n∈N*.
我们用数学归纳法证明.
①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck<2.
那么，当n＝k＋1时，
c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<2＋
<2＋<2＋
＝2＋2(－)＝2，
即当n＝k＋1时不等式也成立.
根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋cn<2对任意n∈N*成立.
规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.
【训练2】 (一题多解)已知各项非负的数列{an}中，a1＝，a－an＋1＝an(n∈N*).求证：an0，综上，an0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明(1)中的猜想.
(1)解 当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0).
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0).同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*).
(2)证明 ①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1时通项公式成立.
由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立.
规律方法 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
【训练3】 是否存在常数a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？证明你的结论.
解 把n＝1，2，3代入得方程组
解得
猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)对一切n∈N*都成立.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面的探求可知等式成立；
(2)假设n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，那么n＝k＋1时，
则1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2
＝[k(3k＋5)＋12(k＋2)]
＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，
所以当n＝k＋1时，等式也成立.
综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立.
基础巩固题组
一、选择题
1.已知等式12＋22＋…＋n2＝，以下说法正确的是( )
A.仅当n＝1时等式成立
B.仅当n＝1，2，3时等式成立
C.仅当n＝1，2时等式成立
D.n为任意自然数时等式成立
解析 当n＝1，2，3时均成立，当n＝4时不成立.
答案 B
2.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2 B.3
C.5 D.6
解析 ∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.
∴n的第一个取值n0＝3.
答案 B
3.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么( )
A.n＝4时该命题成立
B.n＝4时该命题不成立
C.n≥5，n∈N*时该命题都成立
D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立
解析 显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.
答案 C
4.利用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了( )
A.1项 B.k项
C.2k－1项 D.2k项
解析 左边增加的项为＋＋…＋共2k项，故选D.
答案 D
5.对于不等式
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