【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章 第2讲 第1课时 函数的单调性与最值作业
第2讲 第1课时 函数的单调性与最值
[基础题组练]
1．(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上递增的是( )
A．y＝x B. y＝2－x
C．y＝logx D．y＝
解析：选A.对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增加的，当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减少的，所以选项A正确；选项D中的函数y＝可转化为y＝x－1，所以函数y＝在(0，＋∞)上是减少的，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当0
1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是增加的，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上是减少的，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当01时，y＝logax在(0，＋∞)上是增加的，因此选项C中的函数y＝logx在(0，＋∞)上是减少的，故选项C不符合题意，故选A.
2．(2020·陕西汉中模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上是减少的，即f(－2)为最大值，且为2－＝.
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.
4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．
5．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0，x1x2>0.
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，1]上是增加的，当x＝1时取得最大值1.
所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上是增加的，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a<0时，f(x)＝2x＋，
当 ≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上是减少的，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当 <1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上是减少的，在上是增加的，无最大值，当x＝时取得最小值2.
10．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解：(1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋
＝，因为x1>x2>0，
所以x1－x2>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，
所以f＝－2＝，
f(2)＝－＝2，
解得a＝.
[综合题组练]
1．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1，3)
解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上是减少的，所以
解得1≤a＜3.故选D.
2．(创新型)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：依题意，h(x)＝
当02时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时，取得最大值，h(2)＝1.
答案：1
3．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上是增加的；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上是减少的，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x10，x1－x2<0，所以f(x1)0，x2－x1>0，
所以要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
所以a≤1.
综上所述，a的取值范围为(0，1]．
4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
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