【数学】2019届一轮复习北师大版函数的性质、函数的图象学案

【数学】2019届一轮复习北师大版函数的性质、函数的图象学案

专题四 函数的性质、函数的图象 ‎ 函数的定义域 ‎【背一背基础知识】‎ 函数的定义域 就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示.‎ 求定义域的基本原则有以下几条 ‎ ‎1.分式 分母不能为零； + ‎ ‎2.根式 偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；‎ ‎3.幂指数 及中底数；‎ ‎4.对数函数 对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于；‎ ‎5.三角函数 正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为.‎ ‎【讲一讲基本技能】‎ ‎1.求函数定义域的主要依据是 ①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.‎ ‎2.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.‎ ‎3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.‎ ‎4.与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；‎ 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；‎ 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．‎ 第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题 解决．‎ 典型例题 例1【2018届全国名校大联考高三第四次联考】函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【练一练趁热打铁】‎ ‎1. 函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得即或，解得或，故选.‎ ‎2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】 因为的定义域为[0，2]，所以对，但，故.故选B．‎ 分段函数 ‎【背一背基础知识】分段函数 ‎ 对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.‎ ‎1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；‎ ‎2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.‎ ‎【讲一讲基本技能】‎ 一般分段函数的基本题型有以下三种 ‎ ‎（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；‎ ‎（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；‎ ‎（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可. ‎ ‎（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子 表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．‎ ‎（5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．‎ 典型例题 例1【2018届湖北省荆州中 、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题 ‎ 即答案为.‎ 例2【2018届河南省南阳市第一中 高三第七次考】已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为当时 ，选A.‎ ‎【练一练趁热打铁】‎ ‎1.已知函数，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断】函数，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分类讨论 ‎ 当时，不等式为 ，此时；‎ 当时，不等式为 ，此时不等式无解；‎ 综上可得，不等式的解集为 ，‎ 表示为区间形式即 .‎ 本题选择A选项.‎ 函数的单调性 ‎【背一背基础知识】‎ ‎1.单调区间 若函数在区间上是增函数（或减函数），则称函数在区间为单调递增（或单调递减），区间叫做的单调递增区间（或单调递减区间）；‎ ‎2.函数的单调性 设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上任意两个自变量、，当时，有（或），那么就说函数在区间上是增函数（或减函数）；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或 时，称函数在区间上是增函数；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是减函数.‎ ‎3.基本初等函数的单调性 ‎ 函数 图象 参数范围 单调区间或单调性 一次函数 ‎ ]‎ ‎[ , , ,X,X, ][ ]‎ ‎[ ]‎ 单调递增区间 ‎[ ]‎ 单调递减区间 二次函数 单调递减区间为 ‎；‎ 单调递增区间为 ‎.‎ 单调递增区间为 ‎；‎ 单调递减区间为 ‎.‎ 反比例函数 单调递减区间为 和 单调递增区间为 和 指数函数 ‎（且）‎ 单调递减区间为 单调递增区间为 对数函数 ‎（且）‎ 单调递减区间为 单调递增区间为 幂函数 在上递减 没有单调性 在上递增 正弦函数 单调递增区间 单调递减区间 余弦函数 单调递减区间 ‎；‎ 单调递增区间 正切函数 单调递增区间 ‎【讲一讲基本技能】‎ 必备技能 1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间上的单调性和函数在区间的子区间上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数增函数增函数，②增函数减函数增函数，③减函数减函数减函数，④减函数增函数 减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由确定的解集为函数的单调递减区间，由确定的解集为函数的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结. ‎ ‎【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.‎ 典型例题 例1【2016高考新课标3理数】已知，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以，故选A．‎ 例2【2017课标II，文8】函数 的单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【练一练趁热打铁】‎ ‎1.【2017北京，文5】已知函数，则 ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 ‎（D）是奇函数，且在R上是增函数 ‎【答案】B[ ]‎ ‎【解析】‎ ‎2.，，三个数中最大数的是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，所以最大.‎ 函数的奇偶性 ‎【背一背基础知识】‎ ‎1.函数的奇偶性 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有（或 ‎），那么函数就叫做偶函数（或奇函数）；‎ ‎2.定义法判断奇偶性的步骤 （1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算与是否具备等量关系；（3）下结论；‎ ‎3.利用性质法 判断奇偶性 （1）奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数.‎ ‎【讲一讲基本技能】‎ ‎1.利用定义判断函数奇偶性的步骤 ‎ ‎2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或 ‎ (偶函数))是否成立．‎ ‎3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数．‎ ‎4．函数的奇偶性和周期性是函数在其定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.‎ ‎5.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0”“偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.‎ 典型例题 例1【2018届北京市东城区高三上 期期末】下列函数中为偶函数的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 例2【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月】奇函数在单调递增，若，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇函数的性质有，故原不等式等价与，解得.‎ ‎【练一练趁热打铁】‎ ‎1.下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A选项，结合二次函数的图象可知，函数为偶函数，且在区间上单调递增；对于B选项，函数为奇函数，在上恒成立，则函数在区间上单调递减；对于C选项，函数的定义域为，且，故函数为偶函数；对于D选项，结合对数函数的图象可知，函数为非奇非偶函数，且在区间上单调递增.故选C.‎ ‎2.偶函数在区间上单调递减，则有（ ）‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于函数为偶函数，故，因此，，由于函数在区间上单调递减，且，所以，即 ‎，故选C.‎ 函数的周期性 ‎【背一背基础知识】‎ ‎1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零实数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.‎ ‎2．最小正周期 如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做的最小正周期.‎ ‎【讲一讲基本技能】‎ ‎1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法 若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法 若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．‎ ‎2．关于函数周期性常用的结论 ‎（1）若满足，则，所以是函数的一个周期()；‎ ‎（2）若满足，则 ＝，所以是函数的一个周期()；‎ ‎（3）若函数满足，同理可得是函数的一个周期(). ‎ ‎（4）函数图像关于轴对称． ‎ ‎（5）函数图像关于中心对称．‎ ‎（6）函数图像关于轴对称，关于中心对称．‎ ‎（7）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么．‎ ‎2.典型例题 例1【2017山东，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,,则f(919)= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 例2. 【2016高考四川文 】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以 ‎，所以，即，，所以.‎ ‎【练一练趁热打铁】‎ ‎1.【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)= （ ）‎ ‎（A）-2 （B）-1‎ ‎（C）0 （D）2‎ ‎【答案】D ‎ 2.已知函数满足且，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由，故函数的最小正周期为，‎ ‎，在等式中令得，.‎ 函数的图象 ‎【背一背基础知识】‎ ‎1利用描点法作函数图象 ‎ 其基本步骤是列表、描点、连线，首先 ①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质继续、单调性、周期性；其次 列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后 描点，连线．‎ ‎2．利用基本函数的图象作图 ‎ ①平移变换 ‎(1)水平平移 y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．‎ ‎(2)竖直平移 y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．‎ ②对称变换 ‎(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．‎ ‎(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于____对称．‎ ‎(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．‎ ‎(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以____为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．‎ ‎(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于____的对称性，作出x<0时的图象．‎ ③伸缩变换 ‎(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为__________，________不变而得到．‎ ‎(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为__________，________不变而得到．‎ ‎【2答案】‎ ① (1)左　右　a个　(2)上　下　b个 ② (1)y轴　(2)x轴　(3)原点　(4)x轴　(5)y轴 ③ (1)原 的A倍　横坐标　(2)原 的倍　纵坐标 ‎【讲一讲基本技能】‎ ‎1.画函数图象的一般方法 ‎(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．‎ ‎(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．‎ ‎2.函数图象的识辨可从以下方面入手 ‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；‎ ‎(2)从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎3.具有对称性的抽象函数 ①函数对于定义域中的任意,都有，则是关于直线对称的函数， ②函数对于定义域中的任意,都有，则是关于点对称的函数.‎ ‎4.对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有 ‎ ‎(1)定性分析法 通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．‎ ‎(2)定量计算法 通过定量的计算 分析解决问题．‎ ‎(3)函数模型法 由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型 分析解决问题.‎ ‎5.函数图象的应用 ‎(1)研究函数性质 ‎ ‎①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．‎ ‎②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．‎ ‎③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．‎ ‎④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．‎ ‎（2）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围) 构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．‎ ‎(3)研究不等式的解 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.‎ ‎2.典型例题 例1【2017课标1，文9】已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称 ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 例2【2017课标3，文7】函数的部分图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ D．‎ ‎ C D ‎【答案】D ‎【练一练趁热打铁】‎ ‎1.【2018届安徽省合肥市高三第一次教 质量检测】函数的大致图像为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2. 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当a＝0时，函数为一次函数f(x)＝2x－3，为递增函数；‎ 当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，对称轴为直线x＝－<0，函数在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；‎ 当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴为直线x＝－≥4，‎ 解得a≥－，又a<0，故－≤a<0.‎ 综上，－ ≤a≤0，‎ 故选D.‎ （一） 选择题（12 5=60分）‎ ‎1. 函数的定义域是（ ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由解得或，故选D.‎ ‎2．【2018届山东省寿光市高三上 期期末】下列函数中，图象是轴对称图形且在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3. ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，由于为增函数，所以.应为为增函数，所以，故.‎ ‎4.【2018届福建省三明市A片区高中联盟校高三上 期期末】已知奇函数满足，当时， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，且为奇函数 ‎∴‎ 故选B ‎5. 奇函数的定义域为R，若为偶函数，且=1，则+=（ ）‎ ‎ A．-2 B．-1 C．0 D．1‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】因为函数是奇函数，所以，又因为为偶函数，所以，所以，而，，同理可得，，所以.故应选D.‎ ‎6.【2018届福建省福州市高三上 期期末】已知函数若，则（ ）‎ A. B. 3 C. 或3 D. 或3‎ ‎【答案】A ‎【解析】若，得，若，不合题意， ，故选A.‎ ‎7．【2018届河北省石家庄市高三上期末】已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】为奇函数， 时，单调递增， 时，也单调递增，由，得， ， ， 的取值范围为或，故选A.‎ ‎8．【2018届湖北省荆州中 、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】函数的图象大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数为奇函数，所以舍去A,C；当时 ，舍去B，选D.‎ ‎9.已知函数是在闭区间上单调递增的偶函数，设，，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于函数为偶函数，故，，且函数在闭区间上单调递增，则，即，故选A.‎ ‎10.设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，故答案选 ‎11. 已知函数 ‎ 若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意易知分段函数为单调递增函数，若，则，解得．‎ ‎12.【2018届陕西省西安市上 期高三上期末】设函数，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】①当m≥2时，f（m）=7为 m2﹣2=7，‎ 解得m=3或m=﹣3（舍去），则m=3；‎ ‎②当m＜2时，f（m）=7为 ，‎ 解得m=27＞2，舍去，‎ 综上可得，实数m的值是3，‎ 故选 D．‎ 二、填空题（4 5=20分）‎ ‎13.【2018届山东省垦利第一中 等四校高三上 期期末】已知函数则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎14.已知偶函数对任意均满足，且当时，，则的值是 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵，∴．∵为偶函数，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎15．【2018届福建省泉州市高中毕业班1月】若二次函数的最小值为，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎16.【2018届四川省绵阳南山中 高三二诊】函数是上的奇函数， ，且对任意，有，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数是上的奇函数， ，则 对任意，有，则函数是单调递增函数 则不等式即， ‎