【数学】2019届一轮复习北师大版圆锥曲线的定义、方程与性质学案
第16练 圆锥曲线的定义、方程与性质
[明考情]
圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等，题目难度中档偏难.
[知考向]
1.圆锥曲线的定义与标准方程.
2.圆锥曲线的几何性质.
3.圆锥曲线的综合.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
方法技巧 (1)椭圆和双曲线上的点到两焦点距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.
(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法.
1.(2017·马鞍山二模)已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A.y2－＝1 B.x2－＝1
C.y2－＝1(y≤－1) D.x2－＝1(y≥1)
答案 C
解析 由两点间距离公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.由c＝7，a＝1⇒b2＝48，F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)，故选C.
2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x可得＝. ①
由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，
可得a2＋b2＝9. ②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.
故选B.
3.(2017·梅州一检)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 因为抛物线的焦点为F(2，0)，所以c＝2.再由离心率为，得m＝4，所以n2＝42－22＝12，
所以＋＝1.
4.(2016·天津)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，
联立
解得
或
即第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.故选D.
5.(2017·延边州模拟)已知抛物线y＝x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|＝24，则线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标为________.
答案 8
解析 由题意得抛物线的标准方程x2＝16y，焦点F(0，4)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AB|≤|AF|＋|BF|＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y1＋y2＋8，
∴y1＋y2≥16，则线段AB的中点P的纵坐标y＝≥8，
∴线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标为8.
考点二 圆锥曲线的几何性质
要点重组 在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
方法技巧 求离心率的两种方法
(1)定义法：求出a，c，代入e＝进行求解.
(2)方程法：只需根据一个条件得到关于a，b，c的各项式，然后两边同除以a或a2得到关于e的方程求e.
6.(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1，)C.(0，3) D.(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，
半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，∴e＝＝＝＝＝.
故选A.
9.(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为_____.
答案
解析 如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
∴点A到l的距离d＝.
又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，
∴△MAN为等边三角形，
∴d＝|MA|＝b，即＝b，∴a2＝3b2，
∴e＝＝＝.
10.设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为________.
答案 7
解析 由题意，|MF|的最小值为3，得＝3，
∴p＝6，∴抛物线E：y2＝12x，
抛物线y2＝12x的焦点F的坐标是(3，0).
设点P在准线上的射影为D，
则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为4－(－3)＝7.
考点三 圆锥曲线的综合
方法技巧 圆锥曲线范围，最值问题的常用方法
(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.
(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.
(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.
11.已知方程－＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－2，＋∞)
C.∪(－1，＋∞)
D.∪
答案 D
解析 由－＝1转化成标准方程＋＝1，
假设焦点在x轴上，则2＋m＞－(m＋1)＞0，
解得－＜m＜－1；
假设焦点在y轴上，则－(m＋1)＞2＋m＞0，
解得－2＜m＜－.
综上可知，m的取值范围为∪.
12.(2016·四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.B.C.D.1
答案 C
解析 如图，由题意可知F，设P点坐标为，显然，当y0<0时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨设y0>0，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时等号成立.故选C.
13.(2017·广州一模)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设P(x0，y0)，则|x0|＜a，又F1(－c，0)，F2(c，0)，∠F1PF2为钝角，∴·＜0有解，
即(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝(－c－x0)(c－x0)＋y＜0，
即c2＞x＋y有解，等价于c2＞(x＋y)min.
又y＝b2－x，
∴x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，
即(x＋y)min＝b2.
故c2＞b2，即c2＞a2－c2，
∴＞，即e＞，
又0＜e＜1，∴＜e＜1.
14.过抛物线y＝ax2 (a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则等于( )
A.B.C.2aD.
答案 B
解析 显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为y＝kx＋，与y＝ax2联立，消去y得ax2－kx－＝0，设A(x1，ax)，B(x2，ax)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，x＋x＝＋，m＝ax＋，
n＝ax＋，∴mn＝·，m＋n＝，∴＝.故选B.
15.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
答案 y＝±x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
16.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点________.
答案 (0，2)
解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简，得y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入，得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过定点(0，2).
1.若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A.[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞)
C. D.
答案 B
解析 由题意，得22＝a2＋1，即a＝，设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，则·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－，因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞).
2.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2＜6，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
3.若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为________________.
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 由题意，得所以
所以b2＝a2－c2＝9.
所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为
＋＝1.
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为______.
答案 (－1，1)
解析 由已知，得e＝＝，由正弦定理，得
＝，所以e＝＝＝－1.
由椭圆的几何性质，知a－c＜|PF2|，即e>，
即e＞，即e2＋2e－1＞0，结合0＜e＜1，可解得e∈(－1，1).
解题秘籍 (1)椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x轴上或y轴上进行讨论.
(2)平面内到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹不是双曲线，要注意定值的限制条件和“绝对值”.
(3)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件.
1.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于( )
A.2B.3C.4D.9
答案 B
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，
所以m＝3.
2.(2017·和平区模拟)已知椭圆＋＝1(a＞)的焦点为F1，F2，且离心率e＝，若点P在椭圆上，|PF1|＝4，则|PF2|的值为( )
A.2B.6C.8D.14
答案 A
解析 椭圆＋＝1(a＞)，椭圆的焦点在x轴上，
b＝，c＝，
则离心率e＝＝，即＝，
解得a2＝9，a＝3，
∴椭圆的长轴长为2a＝6，
由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝6，即|PF2|＝2.
3.(2017·福建质检)已知直线l过点A(－1，0)且与⊙B：x2＋y2－2x＝0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的方程为( )
A.－＝1B.－x2＝1C.－＝1D.－＝1
答案 D
解析 可设直线方程为y＝k(x＋1)，
⊙B：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为1，由相切可得圆心到直线的距离d＝＝1⇒k＝±，
所以直线方程为y＝±(x＋1)，联立圆的方程，解得x＝，y＝±⇒D，故渐近线方程为y＝±x，设双曲线方程为y2－x2＝m代入点D，可得双曲线方程为－＝1.
4.(2017·佛山二模)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为l，圆C：(x－a)2＋y2＝8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且＝5(其中O为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 双曲线的渐近线方程为y＝x，圆(x－a)2＋y2＝8的圆心为(a，0)，半径r＝2，由于∠ACB＝，由勾股定理得|AB|＝＝4，故|OA|＝|AB|＝1.在△OAC，△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC＝＝，解得a2＝13.由圆心到直线y＝x的距离为2，得＝2，结合c2＝a2＋b2，解得c＝，故离心率为＝＝.
5.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ
中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线的方程是( )
A.y2＝4xB.y2＝2xC.y2＝8xD.y2＝6x
答案 C
解析 设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由抛物线的定义可知，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋＝(x1＋x2)＋p，
线段PQ中点的横坐标为3，
又|PQ|＝10，
∴10＝6＋p，可得p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x.
6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1
答案 D
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，
所以＝，即2b＝a， ①
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，
由已知，得＝，
即a2＋b2＝7， ②
联立①②，解得a2＝4，b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
7.(2016·全国Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A.B.C.D.2
答案 A
解析 如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.
又sin∠MF2F1＝，
所以＝，
即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.
8.(2016·全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.
9.设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.3
答案 B
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)，故e＝＝＝＝
eq f(5,3)，故选B.
10.已知A(1，2)，B(－1，2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
答案 (1，2)
解析 设P(x，y)，由题设条件，
得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0，2)为圆心，1为半径的圆.
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由题意，可得>1，即>1，
所以e＝<2，
又e>1，故1
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