湖北高考理科数学试卷及答案详解 WORD版 答案超级详细

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湖北高考理科数学试卷及答案详解 WORD版 答案超级详细

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数学(理工农医类)‎ 本试卷共4页,三大题21小题。满分150分,考试时间120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项:‎ ‎1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。‎ ‎4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。‎ ‎1.i为虚数单位,则 ‎ (A) -1 (B) -i (C) 1 (D) i 解析:选B。 ,故 ‎2. 已知,则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析:选D ‎ ‎,,‎ 故 ,即为 ‎3.已知函数,若,则x的取值范围为 ‎ (A) ‎ ‎ (B) ‎ ‎ (C)‎ ‎ (D) ‎ 解析:选A.,令得:,于是,解之即得A。‎ ‎4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n,则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析:选C.当抛物线上的两点关于x轴对称时,显然可能和焦点组成正三角形,这样的三角形有2个,当抛物线的一点为原点时,取原点与焦点的中垂线与抛物线相交得到两点,因,故此时不能得到正三角形,于是一共有2个满足条件的正三角形。‎ ‎5.已知随机变量服从正态分布,且,则 ‎ (A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6‎ 解析:选B。由服从正态分布,得,故 ‎6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足,若,则 ‎ (A) (B) 2 (C) (D) ‎ 解析:选C。,代入,得:,又,故 ‎,于是,故 ‎7.如图,用K、三类不同的原件连接成一个系统,当K正常工作且至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 ‎ (A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.576‎ 解析:选B。 分两种情况:①K正常且中一个正常,②全部正常。‎ 故 ‎8.已知向量,若x,y满足不等式,则z的取值范围为:‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析:选A。由得:,即,易知所表示的区域如图所示:故易得在上 分别取最小值-3和最大值3。‎ ‎9.若实数a,b满足,则称a与b互补,记,那么是a与b互补的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎ (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ 解析:选C。,故至少有一个为0,不妨设,由,于是,同理可证:,故互补;反之若互补,由,不妨设则,即。综上。是a与b互补的充要条件。‎ ‎10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中,其含量M(太贝克/年)与时间t(单位:年)满足函数关系:‎ ‎,其中M0为t=0时铯137的含量,已知t=30时,铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年),则M(60)=‎ ‎ (A) 5太贝克 (B) 75ln2太贝克 (C) 150ln2太贝克 (D) 150太贝克 解析:选A。,因为t=30时,铯137含量的变化率为-10ln2,所以,故。‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.‎ ‎11.的展开式中,含的项的系数为 17 .(结果用数值表示)‎ 解析:的通项为:,的指数为,令,故的项的系数为 ‎12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期,从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)‎ 解析:。‎ ‎13.《九章算术》“竹九节”问题:现有1根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.‎ 解析:设九节竹子的容积分别为:,由题意:,,解得:,,于是 ‎14.如图,直角坐标系xOy所在的平面为,直角坐标系(其中轴与y轴重合)所在的平面,‎ ‎(Ⅰ)已知平面内有一点,则点在平面内的射影P的坐标为(Ⅱ)已知平面内的曲线C/的方程是,则曲线C/在平面内的射影C的方程是 ‎ 解析:设平面内的点在平面内的射影为,则,故在平面内的射影P的坐标为;另:由得,即 ‎15.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色,时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 21 种.,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 43 种。(结果用数值表示)‎ 解析:由图:设黑色正方形互不相邻的着色方案共有种,则,于是这个数列满足,所以。至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分10分)‎ 设的内角A、B、C所对的边分别是,已知,‎ ‎ (Ⅰ)求的周长 ‎ (Ⅱ)求的值。‎ 解析:(Ⅰ),‎ 故的周长为。‎ ‎ (Ⅱ),‎ ‎,故A为锐角,‎ 17. ‎(本小题满分12分)‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0,,当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时。研究表明:当时,车流速度v是车流密度x的一次函数。‎ ‎ (Ⅰ)当,求函数的表达式;‎ ‎ (Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆/小时)‎ 解析:(Ⅰ)由题意:当时,=60,当时,设。再由已知得:解得:‎ 故函数的表达式为 ‎ (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)可得:‎ 当时,为增函数,故当时,其最大值为;‎ 当时,,‎ 当且仅当时,等号成立。‎ 所以,当时,在区间上取得最大值。‎ 综上,,当时,在区间上取得最大值,‎ 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时。‎ 17. ‎(本小题满分12分)‎ 如图,已知正三棱柱的各棱长是4,E是BC的中点,动点F在侧棱上,且不与点C重合 ‎ (Ⅰ)当CF=1时,求证:;‎ ‎ (Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为,求的最小值。‎ 解析:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则有已知可得,,,,,‎ 于是,,则,故 ‎ (Ⅱ)设,平面AEF的一个法向量为,则由(Ⅰ)得:‎ ‎,,,于是由,可得,即,取 又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为,于是又由为锐角可得:‎ ‎,,所以。‎ 由,得,即 故当时,即点F与点重合时,取得最小值 17. ‎(本小题满分13分)‎ 已知数列的前n项和为,且满足:‎ ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式 ‎ (Ⅱ)若存在,使得成等差数列,试判断:对于任意的,且,是否成等差数列,并证明你的结论。‎ 解析:(Ⅰ)由已知可得,两式相减可得,即,又,‎ 所以当r=0时,数列为a,0,0……,0,……;‎ 当时,由已知,所以,‎ 于是由,可得,所以成等比数列,‎ 当时,。‎ 综上,数列的通项公式为:‎ ‎(Ⅱ)对于任意的,且,是否成等差数列,证明如下:‎ 当r=0时,由(Ⅰ),知,‎ 故对于任意的,且,7成等差数列;‎ 当时,,。‎ 若存在,使得成等差数列,则,‎ ‎,即,‎ 由(Ⅰ),知的公比,‎ 于是对于任意的,且,,从而,‎ ‎,即成等差数列。‎ 综上,对于任意的,且,成等差数列。‎ 17. ‎(本小题满分14分)‎ 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹,加上两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线。‎ ‎ (Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;‎ ‎ (Ⅱ)当m=-1时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为。设是的两个焦点。试问:在上是否存在点N,使得的面积。若存在,求的值,若不存在,请说明理由。‎ 解析:(Ⅰ)设动点为M,其坐标为,当时,由条件可得:,即,‎ 又的坐标满足,‎ 故依题意:曲线C的方程为 当时,曲线C的方程为,C是焦点在y轴上的椭圆;‎ 当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;‎ 当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;‎ 当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的双曲线;‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,曲线的方程为,‎ 当时,的两个焦点分别为 对于给定的,‎ 上存在点,使得的充要条件是 由①的,由②得,,‎ 当,即或时,‎ 存在点N使得,;‎ 当,即或时,‎ 由,‎ 可得 令,,‎ 则由可得,‎ 从而,于是由 可得:,即 综上可得:当时,在上,存在点N,使得的面积,且 当时,在上,存在点N,使得的面积,且 当时,在上,不存在满足条件的点N。‎ 17. ‎(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)已知函数求函数的最大值;‎ ‎(Ⅱ)设均为正数,证明:‎ ‎(1)若,则 ‎(2)若,则。‎ 解析:(Ⅰ)的定义域为,令 ‎,解得 当时,,在上是增函数;‎ 当时,,在上是减函数;‎ 故函数在x=1处取得最大值 ‎(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当,有,即,‎ ‎,从而有,得。‎ 求和得:‎ ‎,,即 ‎ (2)①先证:。‎ 令,则,于是 由(1)得,即 ‎,。‎ ‎②再证 记,令,则,‎ 于是由(1)得,即 ‎,‎ 综合①②,(2)得证。‎
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