高考数学专题复习系列导数及其应用导学案

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高考数学专题复习系列导数及其应用导学案

导数及其应用 考纲导读 ‎1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.‎ ‎2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数), 的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.‎ ‎3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.‎ 知识网络 高考导航 导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有关问题要能自觉地运用导数.‎ 第1课时 变化率与导数、导数的计算 基础过关 ‎1.导数的概念:函数y=的导数,就是当Δ0时,函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ,即= = .‎ ‎2.导函数:函数y=在区间(a, b)内 的导数都存在,就说在区间( a, b )内 ,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做的 ,记作或,函数的导函数在时的函数值 ,就是在处的导数.‎ ‎3.导数的几何意义:设函数y=在点处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .‎ ‎4.求导数的方法 ‎(1) 八个基本求导公式 ‎= ; = ;(n∈Q) ‎ ‎= , = ‎ ‎= , = ‎ ‎= , = ‎ ‎(2) 导数的四则运算 ‎= = ‎ ‎= ,= ‎ ‎(3) 复合函数的导数 设在点x处可导,在点处可导,则复合函数在点x处可导, 且= ,即.‎ 典型例题 例1.求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.‎ 解 ∵Δy=‎ ‎ ‎ 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. 解 ‎ 例2. 求下列各函数的导数:‎ ‎ (1) (2)‎ ‎ (3) (4)‎ ‎ 解 (1)∵‎ ‎ ∴y′‎ ‎ (2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.‎ ‎ 方法二 =‎ ‎=(x+3)+(x+1)(x+2)‎ ‎=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11. ‎(3)∵y=‎ ‎∴‎ ‎(4) ,‎ ‎∴‎ 变式训练2:求y=tanx的导数.‎ ‎ 解 y′‎ 例3. 已知曲线y= ‎(1)求曲线在x=2处的切线方程; ‎(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.‎ ‎ 解 (1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=|x=2=4.  ‎∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. ‎ ‎(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点,‎ 则切线的斜率k=|=. ‎ ‎∴切线方程为即 ‎ ‎∵点P(2,4)在切线上,∴4=‎ 即∴‎ ‎∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,‎ 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. ‎ 变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,则k= .‎ ‎ 答案 2或 例4. 设函数 (a,b∈Z),曲线在点处的切线方程为y=3.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.‎ ‎(1)解 ,‎ 于是解得或 因为a,bZ,故 ‎(2)证明 在曲线上任取一点.‎ 由知,过此点的切线方程为 ‎.‎ 令x=1,得,切线与直线x=1交点为.‎ 令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.‎ 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).‎ 从而所围三角形的面积为.‎ 所以,所围三角形的面积为定值2.‎ 变式训练4:偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式. 解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1. ① 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ‎∴b=0,d=0. ② ‎∴f(x)=ax4+cx2+1. ‎∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,∴可得切点为(1,-1). ‎∴a+c+1=-1. ③ ‎∵=(4ax3+2cx)|x=1=‎4a+‎2c,∴‎4a+‎2c=1. ④ 由③④得a=,c=.∴函数y=f(x)的解析式为 小结归纳 ‎1.理解平均变化率的实际意义和数学意义。‎ ‎2.要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导.‎ ‎3.搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础.‎ 第2课时 导数的概念及性质 基础过关 ‎1. 函数的单调性 ‎⑴ 函数y=在某个区间内可导,若>0,则为 ;若<0,则为 .(逆命题不成立)‎ ‎(2) 如果在某个区间内恒有,则 .‎ 注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.‎ ‎(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法:‎ ‎① 确定函数的 ;‎ ‎② 求,令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根;‎ ‎③ 把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间;‎ ‎④ 确定在各小开区间内的 ,根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.‎ ‎2.可导函数的极值 ‎⑴ 极值的概念 设函数在点附近有定义,且对附近的所有点都有 (或 ),则称为函数的一个极大(小)值.称为极大(小)值点.‎ ‎⑵ 求可导函数极值的步骤:‎ ‎① 求导数;‎ ‎② 求方程=0的 ;‎ ‎③ 检验在方程=0的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函数y=在这个根处取得 .‎ ‎3.函数的最大值与最小值:‎ ‎⑴ 设y=是定义在区间[a ,b ]上的函数,y=在(a ,b )内有导数,则函数y=在[a ,b ]上 有最大值与最小值;但在开区间内 有最大值与最小值.‎ ‎(2) 求最值可分两步进行:‎ ‎① 求y=在(a ,b )内的 值;‎ ‎② 将y=的各 值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.‎ ‎(3) 若函数y=在[a ,b ]上单调递增,则为函数的 ,为函数的 ;若函数y=在[a ,b ]上单调递减,则为函数的 ,为函数的 .‎ 典型例题 例1. 已知f(x)=ex-ax-1. ‎(1)求f(x)的单调增区间; ‎(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; ‎(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.‎ 解:=ex-a. ‎(1)若a≤0,=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). ‎(2)∵f(x)在R内单调递增,∴≥0在R上恒成立. ‎∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立. ‎∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. ‎(3)方法一 由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ‎∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立.∵ex在(-∞,0]上为增函数. ‎∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ‎∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1. 方法二 由题意知,x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.‎ 变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1. ‎(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围; ‎(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由; ‎(3)证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. ‎(1)解 由已知=3x2-a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数, ‎∴=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立. ‎∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时,=3x2≥0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数,则a≤0. ‎(2)解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ‎∵-10,即e-ax(-ax2+2x)>0,得02时,f(x)在(1,2)上是减函数, ‎∴f(x)max=f(1)=e-a. ‎ ‎②当1≤≤2,即1≤a≤2时, f(x)在上是增函数,在上是减函数, ‎∴f(x)max=f=‎4a-2e-2. ‎ ‎③当>2时,即02时,f(x)的最大值为e-a. ‎ 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R. ‎(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;‎ ‎(2)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值. 解:(1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,=-3x2+4x-1, ‎-12+8-1=-5, ‎∴当a=1时,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 ‎5x+y-8=0. ‎(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, ‎=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令=0,解得x=或x=a. 由于a≠0,以下分两种情况讨论. ‎①若a>0,当x变化时,的正负如下表: x ‎(-∞,)‎ ‎(,a)‎ a ‎(a,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎0‎ ‎↘‎ 因此,函数f(x)在x=处取得极小值f(), 且f()=- 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0. ‎②若a<0,当x变化时,的正负如下表: x ‎(-∞,a)‎ a ‎(a,)‎ ‎(,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎-‎ ‎↘‎ 因此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0; 函数f(x)在x=处取得极大值f(), 且f()=-.‎ 例4. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式; ‎(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).‎ 解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11]. ‎(2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+‎2a-3x). 令=0得x=6+a或x=12(不合题意,舍去). ‎∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤. 在x=6+a两侧L′的值由正变负. 所以①当8≤6+a<9即3≤a<时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ‎②当9≤6+a≤,即≤a≤5时, Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)[12-(6+a)]2=4(3-a)3. 所以 答 若3≤a<,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(万元);若≤a≤5,则当每件售价为(6+a)元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)= (万元).‎ 变式训练4:某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5 000(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).‎ ‎(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示:利润=产值-成本) ‎(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? ‎(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?‎ 解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*,且1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19). ‎(2)=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ‎∵x>0,∴=0时,x=12, ‎∴当00,当x>12时,<0, ‎∴x=12时,P(x)有最大值. 即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大. ‎(3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以,当x≥1时,MP(x)单调递减, 所以单调减区间为[1,19],且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少.‎ 小结归纳 研究可导函数的单调性、极值(最值)时,应先求出函数的导函数,再找出=0的x取值或>0(<0)的x的取值范围.‎ 导数及其应用单元检测题 一、选择题 ‎1.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )‎ A.e2 B.2e‎2 C.e2 D. ‎2.如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么导函数y=的图象可能是 ( )‎ ‎3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 ( ) A.(0, B.(+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(,+∞) ‎4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则 ( ) A.a<-1 B.a>-1 C.a<- D.a>- ‎5.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点,且y极小值=-4,那么p、q的值分别为 ( ) A.6,9 B.9,‎6 C.4,2 D.8,6 ‎6.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,则x2y的最大值为 ( ) A.36 B‎.18 C.25 D.42 ‎7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 ( ) ‎①f(x)>0的解集是{x|00  D.b<‎ 二、填空题 ‎ ‎13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值,则a的取值范围为 . ‎14.如图是y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断: ‎①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ‎②x=-1是f(x)的极小值点; ‎③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ‎④x=3是f(x)的极小值点. 其中判断正确的是 . ‎15.函数f(x)的导函数y=的图象如右图,则函数f(x)的单调递增区间为 . ‎16.已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则= . 三、解答题 ‎17.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c. ‎(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围; ‎(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)2或c<-1,所以c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).‎ ‎18.解 命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+‎4a, ‎∴=3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线. 由条件得≥0且≥0, 即∴-2≤a≤2. 命题q: ‎∵该不等式的解集为R,∴a<-1. 当p正确q不正确时,-1≤a≤2; 当p不正确q正确时,a<-2. ‎∴a的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,2]. ‎19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax ‎∴=3x2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,只需=3x2-2(a+1)x+a在(2,+∞)上满足≥0即可. ∵=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=, ‎∴a的取值应满足:或 解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.‎ ‎20.解 (1)∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数, ‎∴F(-x)=-F(x),化简计算得b=3. ‎∵函数f(x)在x=-1处取极值,∴=0. f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c ‎∴=-6-6+c=0,c=12.‎ ‎∴f(x)=-2x3+3x2+12x, ‎(2)=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2). 令=0,得x1=-1,x2=2, x ‎-3‎ ‎(-3,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎45‎ ‎↘‎ ‎-7‎ ‎↗‎ ‎20‎ ‎↘‎ ‎9‎ ‎∴函数f(x)在[-3,-1]和[2,3]上是减函数, 函数f(x)在[-1,2]上是增函数.‎ ‎21. 解 设P(x0,y0),则y0=, ‎∴过点P的切线斜率k=x0, 当x0=0时不合题意,∴x0≠0. ‎∴直线l的斜率kl=-, ‎∴直线l的方程为y-. 此式与y=联立消去y得 x2+‎ 设Q(x1,y1),M(x,y).∵M是PQ的中点, ‎∴‎ 消去x0,得y=x2++1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2>0, ‎∴y=x2++1≥2‎ 上式等号仅当x2=,即x=±时成立, 所以点M到x轴的最短距离是+1.‎ ‎22. 解 =3t2+2bt+c. 由图象可知,s(t)在t=1和t=3处取得极值. 则=0, =0. 即解得 ‎∴=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3). 当t∈[,1)时,>0. 当t∈(1,3)时,<0. 当t∈(3,4)时,>0. 则当t=1时,s(t)取得极大值为4+d. 又s(4)=4+d, 故t∈[,4]时,s(t)的最大值为4+d. 已知s(t)<3d2在[,4]上恒成立, ‎∴s(t)max<3d2.即4+d<3d2. 解得d>或d<-1.∴d的取值范围是{d|d>或d<-1}.‎
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