江苏高考数学压轴大题突破练直线与圆

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江苏高考数学压轴大题突破练直线与圆

中档大题规范练——直线与圆 ‎1.已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).‎ ‎(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.‎ ‎(2)若a=,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求AC+BD的最大值.‎ 解 (1)由条件知点M在圆O上,‎ 所以1+a2=4,则a=±.‎ 当a=时,点M为(1,),kOM=,k切=-,‎ 此时切线方程为y-=-(x-1).‎ 即x+y-4=0,‎ 当a=-时,点M为(1,-),kOM=-,k切=.‎ 此时切线方程为y+=(x-1).即x-y-4=0.‎ 所以所求的切线方程为x+y-4=0或x-y-4=0.‎ ‎(2)设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2(d1,d2≥0),‎ 则d+d=OM2=3.‎ 又有AC=2,BD=2,‎ 所以AC+BD=2+2.‎ 则(AC+BD)2=4×(4-d+4-d+2·)‎ ‎=4×[5+2]‎ ‎=4×(5+2).‎ 因为2d1d2≤d+d=3,所以dd≤,‎ 当且仅当d1=d2=时取等号,所以≤,‎ 所以(AC+BD)2≤4×(5+2×)=40.‎ 所以AC+BD≤2,‎ 即AC+BD的最大值为2.‎ ‎2.已知圆C:(x+1)2+y2=8.‎ ‎(1)设点Q(x,y)是圆C上一点,求x+y的取值范围;‎ ‎(2)在直线x+y-7=0上找一点P(m,n),使得过该点所作圆C的切线段最短.‎ 解 (1)设x+y=t,因为Q(x,y)是圆上的任意一点,所以该直线与圆相交或相切,‎ 即≤2,解得-5≤t≤3,‎ 即x+y的取值范围是[-5,3].‎ ‎(2)因为圆心C到直线x+y-7=0的距离 d==4>2=r,‎ 所以直线与圆相离,因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线,组成一直角三角形且半径为定值;所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线,过其垂足作的切线段最短,其垂足即为所求.‎ 设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0.‎ 又因为该线过圆心(-1,0),‎ 所以-1-0+c=0,即c=1,‎ 而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4),‎ 即点P坐标为(3,4).‎ ‎3.已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.‎ ‎(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;‎ ‎(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.‎ 解 (1)如图所示,AB=4,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,‎ ‎∴圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,‎ 又AD=2,AC=4.‎ 在Rt△ACD中,可得CD=2.‎ 设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.‎ 由点C到直线l的距离公式:=2,‎ 得k=.‎ 故直线l的方程为3x-4y+20=0.‎ 又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.‎ ‎∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.‎ ‎(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),‎ 则CD⊥PD,即·=0,‎ ‎∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,‎ 化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.‎ ‎4.a为何值时,(1)直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:(‎3a-1)x-ay-1=0平行?‎ ‎(2)直线l3:2x+ay=2与直线l4:ax+2y=1垂直?‎ 解 (1)①当a=0时,两直线的斜率不存在,‎ 直线l1:x-1=0,直线l2:x+1=0,此时,l1∥l2.‎ ‎②当a≠0时,l1:y=-x+,‎ l2:y=x-,‎ 直线l1的斜率为k1=-,‎ 直线l2的斜率为k2=,‎ 要使两直线平行,必须 解得a=.‎ 综合①②可得当a=0或a=时,两直线平行.‎ ‎(2)方法一 ①当a=0时,直线l3的斜率不存在,‎ 直线l3:x-1=0,直线l4:y-=0,此时,l3⊥l4.‎ ‎②当a≠0时,直线l3:y=-x+与直线l4:y=-x+,直线l3的斜率为k3=-,直线l4的斜率为k4=-,要使两直线垂直,必须k3·k4=-1,‎ 即-·=-1,不存在实数a使得方程成立.‎ 综合①②可得当a=0时,两直线垂直.‎ 方法二 要使直线l3:2x+ay=2和直线l4:ax+2y=1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A‎1A2+B1B2=0,即‎2a+‎2a=0,解得a=0,所以,当a=0时,两直线垂直.‎ ‎5.已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),且过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.‎ 解 将圆C的方程配方有(x+)2+(y+1)2=,‎ ‎∴>0,①‎ ‎∴圆心C的坐标为(-,-1),半径r=.‎ 当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,‎ ‎∴AC>r,‎ 即 >,‎ 化简得a2+a+9>0.②‎ 由①②得-r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,‎ ‎∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎ ‎(3)解 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点B′(-4,-2),‎ 则PB+PQ=PB′+PQ≥B′Q,‎ 又B′到圆上点Q的最短距离为 B′C-r=- ‎=3-=2.‎ 所以PB+PQ的最小值为2,直线B′C的方程为y=x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-,-).‎
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