高考数学复习——参数方程选讲三

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高考数学复习——参数方程选讲三

‎2020年高考数学复习——参数方程选讲(三)‎ ‎46.已知在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),在极坐标系(以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρsin2θ=2ρcosθ(ρ>0),曲线C1、C2交于A、B两点.‎ ‎(Ⅰ)若ρ=2且定点P(0,﹣4),求|PA|+|PB|的值;‎ ‎(Ⅱ)若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,求ρ的值.‎ ‎47.已知圆C的参数方程为(θ为参数),若P是圆C与x轴的交点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为l.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的极坐标方程 ‎(Ⅱ)求圆C上到直线ρ(cosθ+sinθ)+6=0的距离最大的点的直角坐标.‎ ‎48.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ.‎ ‎(I)求C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A,B两点,求弦长|AB|.‎ ‎49.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos(θ﹣).‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;‎ ‎(2)若曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.‎ ‎50.已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线C截得的弦长.‎ ‎51.在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为.‎ ‎(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为,求|PA|+|PB|.‎ ‎52.极坐标系中,已知圆.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程.‎ ‎(2)设P是圆上任一点,求点P到直线距离的最大值.‎ ‎53.在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣)=,C与l有且仅有一个公共点.‎ ‎(Ⅰ)求a;‎ ‎(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.‎ ‎54.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于M、N两点.‎ ‎(1)写出曲线C和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.‎ ‎55.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求C的普通方程和l的倾斜角;‎ ‎(Ⅱ)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.‎ ‎56.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l距离的最小值.‎ ‎57.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为:(t为参数),它与曲线C:(y﹣2)2﹣x2=1交于A,B两点.‎ ‎(1)求|AB|的长;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.‎ ‎58.已知直线l:x﹣y﹣1=0,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5.‎ ‎(Ⅰ)将直线l写成参数方程(t为参数,α∈[0,π))的形式,并求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l与曲线C交于点A,B(点A在第一象限)两点,若点M的直角坐标为(1,0),求△OMA的面积.‎ ‎59.已知平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1方程为ρ=2sinθ;C2的参数方程为(t为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)设点P为曲线C1上的任意一点,求点P 到曲线C2距离的取值范围.‎ ‎60.已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10,以极点为直角坐标系原点,极轴所在直线为x轴建立直角坐标系,曲线C1的参数方程为(α为参数),.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)若点M在曲线C1上运动,试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标.‎ ‎61.已知在直角坐标系xoy中,直线l过点P(1,﹣5),且倾斜角为,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,半径为4的圆C的圆心的极坐标为.‎ ‎(Ⅰ)写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.‎ ‎62.已知C1在直角坐标系下的参数方程为,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,有曲线C2:ρ=2cosθ﹣4sinθ.‎ ‎(Ⅰ)将C1的方程化为普通方程,并求出C2的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求曲线C1和C2两交点之间的距离.‎ ‎63.在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.‎ ‎(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);‎ ‎(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.‎ ‎64.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C1的参数方程为,(α为参数,且α∈[0,π)),曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ.‎ ‎(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程;‎ ‎(2))若P是C1上任意一点,过点P的直线l交C2于点M,N,求|PM|•|PN|的取值范围.‎ ‎65.在直角坐标系中,设倾斜角为的直线的参数方程为(为参数)与曲线(为参数)相交于不同的两点、.‎ ‎(I)若,求线段的中点的直角坐标;‎ ‎(II)若直线的斜率为,且过已知点,求的值.‎ ‎66.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(II)直线l的参数方程为(t为参数),α为直线l的倾斜角,l与C交于A,B两点,且|AB|=,求l的斜率.‎ ‎67.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sin(θ﹣),直线l的参数方程为,直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点 ‎(1)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值.‎ 参考答案 ‎46.解:(Ⅰ)∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ(p>0),即为ρ2sin2θ=2pρcosθ(p>0),‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px,p>2.‎ 又已知p=2,∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.‎ 将曲线C1的参数方程(t为参数)与y2=4x联立得: t+32=0,‎ 由于△=﹣4×32>0,‎ 设方程两根为t1,t2,‎ ‎∴t1+t2=12,t1•t2=32,‎ ‎∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12.‎ ‎(Ⅱ)将曲线C1的参数方程(t为参数)与y2=2px联立得:t2﹣2(4+p)t+32=0,‎ 由于△=﹣4×32=8(p2+8p)>0,‎ ‎∴t1+t2=2(4+p),t1•t2=32,‎ 又|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,‎ ‎∴|AB|2=|PA||PB,‎ ‎∴=|t1||t2|,‎ ‎∴=5t1t2,‎ ‎∴=5×32,‎ ‎∴p2+8p﹣4=0,解得:p=﹣4,‎ 又p>0,‎ ‎∴p=﹣4+2,‎ ‎∴当|PA|,|AB|,|PB|成等比数列时,p的值为﹣4+2.‎ ‎ ‎ ‎47.解:(Ⅰ)∵圆C的参数方程为(θ为参数),‎ ‎∴圆C的参数方程消去参数θ,得圆C的普通方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=4,‎ ‎∵P是圆C与x轴的交点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为l 由题设知,圆心C(1,),P(2,0),‎ ‎∠CPO=60°,故过P点的切线的倾斜角为30°,‎ 设M(ρ,θ)是过P点的圆C的切线上的任一点,‎ 则在△PMO中,∠MOP=θ,∠OMP=30°﹣θ,∠OPM=150°,‎ 由正弦定理得,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos(θ+60°)=1.‎ ‎(Ⅱ)∵直线ρ(cosθ+sinθ)+6=0,‎ ‎∴直线的直角坐标方程为x+y+6=0,‎ 设圆上的点M(1+2cosθ,),‎ 点M到直线的距离:‎ d==,‎ ‎∴当θ=时,点M到直线的距离取最大值.此时M(2,2),‎ ‎∴圆C上到直线ρ(cosθ+sinθ)+6=0的距离最大的点的直角坐标为(2,2).‎ ‎48.解:(I)由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ,即ρ2sin2θ=8ρcosθ,化为y2=8x.‎ ‎(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0.‎ 解得t1=8,t2=.‎ ‎∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==.‎ ‎49.解:(1)对于曲线C2有,即,‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为,其表示一个圆.‎ ‎(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得:,‎ ‎∴t1+t2=2sinα,t1t2=﹣13‎ ‎,‎ 因此sinα=0,|AB|的最小值为,sinα=±1,最大值为8.‎ ‎ ‎ ‎50.解:(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=5,‎ 曲线C表示以(3,1)为圆心,为半径的圆,‎ 将代入并化简:ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0.‎ ‎(2)直角坐标方程为y﹣x=1,‎ ‎∴圆心C到直线的距离为,∴弦长为.‎ ‎51.解:(Ⅰ)∵圆C的方程为.‎ ‎∴,‎ 即圆C的直角坐标方程:.‎ ‎(Ⅱ),即,‎ 由于,故可设t1,t2是上述方程的两实根,‎ 所以,‎ 故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=‎ ‎52.解(1)圆ρ=10cos 化简可得:ρ=10coscosθ+10sinsinθ ρ2=5ρcosθ+5ρsinθ ‎∴.‎ 故得圆的直角坐标方程为:.‎ ‎(2)由(1)可知圆的圆心为(,),半径r=5,‎ 题意:点P到直线距离的最大值为:圆心到直线的距离+半径,即d+r.‎ d=‎ ‎∴最大距离为:1+5=6.‎ ‎53.解:(Ⅰ)曲线C:ρ=2acosθ(a>0),变形ρ2=2ρacosθ,化为x2+y2=2ax,即(x﹣a)2+y2=a2.‎ ‎∴曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆;‎ 由l:ρcos(θ﹣)=,展开为,‎ ‎∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0.‎ 由直线l与圆C相切可得=a,解得a=1.‎ ‎(Ⅱ)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,‎ 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+)‎ ‎=3cosθ﹣sinθ=2cos(θ+),‎ 当θ=﹣时,|OA|+|OB|取得最大值2.‎ ‎54.解:(1)曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),‎ 转化成直角坐标方程为:y2=2ax 线l的参数方程为(t为参数),‎ 转化成直角坐标方程为:x﹣y﹣2=0.‎ ‎(2)将直线的参数方程(t为参数),代入y2=2ax得到:‎ ‎,‎ 所以:,t1t2=32+8a,①‎ 则:|PM|=t1,|PN|=t2,|MN|=|t1﹣t2|‎ ‎|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,‎ 所以:,②‎ 由①②得:a=1.‎ ‎55.解法一:(Ⅰ)由消去参数α,得,‎ 即C的普通方程为.‎ 由,得ρsinθ﹣ρcosθ=2,…(*)‎ 将代入(*),化简得y=x+2,‎ 所以直线l的倾斜角为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),‎ 即(t为参数),‎ 代入并化简,得.‎ ‎.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则,所以t1<0,t2<0,‎ 所以.‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)直线l的普通方程为y=x+2.‎ 由消去y得10x2+36x+27=0,‎ 于是△=362﹣4×10×27=216>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,所以x1<0,x2<0,‎ 故.‎ ‎56.(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,‎ 曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=,‎ 根据ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ 则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)设Q,则点Q到直线l的距离为 ‎=,‎ 当且仅当,即(k∈Z)时取等号.‎ ‎∴Q点到直线l距离的最小值为.‎ ‎57.解:(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t﹣125=0‎ 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则.‎ ‎∴.‎ ‎(2)由P的极坐标为,可得xp==﹣2, =2.‎ ‎∴点P在平面直角坐标系下的坐标为(﹣2,2),‎ 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为.‎ ‎∴由t的几何意义可得点P到M的距离为.‎ ‎58.解:(Ⅰ)∵直线l:x﹣y﹣1=0的倾斜角为,‎ ‎∴将直线l写成参数方程为,‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5,‎ ‎∴x2+y2﹣4y=5,即x2+(y﹣2)2=9.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+(y﹣2)2=9.‎ ‎(Ⅱ)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,‎ 得t2﹣﹣4=0,‎ 设t1,t2是方程的两根,‎ 解得,,‎ 又点A在第一象限,故点A对应,‎ 代入到y=tsin,得到点A纵坐标yA=2,‎ 因此△OMA的面积S△OMA=|OM|•|yA|==1.‎ ‎59.解:(I)曲线C1方程为ρ=2sinθ,可得ρ2=2ρsinθ,可得x2+y2=2y,‎ ‎∴C1的直角坐标方程:x2+(y﹣1)2=1,‎ C2的参数方程为,消去参数t可得:‎ C2的普通方程:.…‎ ‎(II)由(I)知,C1为以(0,1)为圆心,r=1为半径的圆,C1的圆心(0,1)到C2的距离为,则C1与C2相交,P到曲线C2距离最小值为0,最大值为,‎ 则点P到曲线C2距离的取值范围为.…‎ ‎60.解:(1)由2ρsinθ+ρcosθ=10,得x+2y﹣10=0,‎ ‎∴曲线C的普通方程是:x+2y﹣10=0.‎ 由,得,代入cos2α+sin2α=1,得,‎ ‎∴曲线C1的普通方程为;‎ ‎(2)曲线C的普通方程是:x+2y﹣10=0,‎ 设点M(3cosα,2sinα),由点到直线的距离公式得:‎ ‎,其中,‎ ‎∴α﹣φ=0时,,此时.‎ ‎61.解:(Ⅰ)∵直线l过点P(1,﹣5),且倾斜角为,‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数)‎ ‎∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为,‎ ‎∴圆心坐标为(0,4),圆的直角坐标方程为x2+(y﹣4)2=16‎ ‎∵,‎ ‎∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ;‎ ‎(Ⅱ)直线l的普通方程为,‎ ‎∴圆心到直线的距离为 ‎∴直线l和圆C相离.‎ ‎62.解:(Ⅰ)C1在直角坐标系下的参数方程为,消参后得C1为y﹣2x+1=0.‎ 由ρ=2cosθ﹣4sinθ得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ.∴x2+y2=2x﹣4y,‎ ‎∴C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y+2)2=5..…‎ ‎(Ⅱ)∵圆心(1,﹣2)到直线的距离.‎ ‎∴.…‎ ‎63.解:(I)由,x2+y2=ρ2,‎ 可知圆,的极坐标方程为ρ=2,‎ 圆,即的极坐标方程为ρ=4cosθ,‎ 解得:ρ=2,,‎ 故圆C1,C2的交点坐标(2,),(2,).‎ ‎(II)解法一:由得圆C1,C2的交点的直角坐标(1,),(1,).‎ 故圆C1,C2的公共弦的参数方程为 ‎(或圆C1,C2的公共弦的参数方程为)‎ ‎(解法二)将x=1代入得ρcosθ=1‎ 从而于 是圆C1,C2的公共弦的参数方程为.‎ ‎64.解:(1)消去参数可得x2+y2=1,因为α∈[0,π),所以﹣1≤x≤1,0≤y≤1,‎ 所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分,‎ 所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1(0≤θ≤π).…‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1…‎ ‎(2)设P(x0,y0),则0≤y0≤1,直线l的倾斜角为α,‎ 则直线l的参数方程为:(t为参数).…‎ 代入C2的直角坐标方程得(x0+tcosα)2+(y0+tsinα+1)2=1,‎ 由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y0|,‎ 因为0≤y0≤1,所以|PM|•|PN|=∈[1,3]…‎ ‎65.解:(I)由曲线(为参数),‎ 可得的普通方程是. …………………………2分 当时,直线的参数方程为(为参数),‎ 代入曲线的普通方程,得, ……………………………3分 得,则线段的中点对应的,‎ 故线段的中点的直角坐标为. ……………………………5分 ‎(II)将直线的参数方程代入曲线的普通方程,化简得 ‎, …………………………………7分 则,…………………9分 由已知得,故. ……………………………10分 ‎66.解:(Ⅰ)∵在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25,‎ ‎∴x2+y2+12x+11=0,‎ 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,‎ x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,‎ ‎∴C的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0.‎ ‎(Ⅱ)∵直线l的参数方程为(t为参数),α为直线l的倾斜角,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为=0,‎ ‎∵l与C交于A,B两点,且|AB|=,‎ ‎∴圆心(﹣6,0)到直线l的距离d==,‎ 解得cosα=,‎ 当cosα=时,l的斜率k=tanα=2;当cosα=﹣时,l的斜率k=tanα=﹣2.‎ ‎67.解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=2sin(θ﹣),即ρ2=ρ×(sinθ﹣cosθ),‎ 利用互化公式可得直角坐标方程:x2+y2+2x﹣2y=0,即(x+1)2+(y﹣1)2=2.‎ ‎(2)圆C的圆心C(﹣1,1),半径r=.‎ 直线l的参数方程为,可得普通方程:3x+4y+4=0.‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d==1.‎ ‎∴圆C上的点到直线AB的最大距离=1+,|AB|=2=2.‎ ‎∴△PAB面积的最大值=×(d+r)==1+.‎
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