成都市分科会立体几何高考解读88

成都市分科会立体几何高考解读88

‎★成都市2014届高考数学 ‎《立体几何》《解析几何》高考解读 解读教师：曹军才 数学是研究数量关系和空间形式的科学（恩格斯）。其“空间形式”可概括为：‎ 平面几何 圆锥曲线 一般平面曲线 立体几何 几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。这表明，几何学不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式。因此，几何课程不仅仅是培养逻辑思维的良好载体，而且是一种思维方式。这种几何直观的思维方式渗透到数学的所有分支。‎ ‎《立体几何》部分 一、立体几何的教育价值 立体几何作为一种直观、形象的数学模型，在发展学生的直觉能力，培养学生的创造精神方面具有独特的价值。创新往往发端于直觉，与数学其他分支相比，几何图形的直观形象为学生进行自主探索，创新活动提供了更为有利的条件。‎ ‎《标准》对立体几何的教育价值主要体现在三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象能力与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养。‎ 二、立体几何的课程目标 立体几何课程的总目标，一是利用几何课程形象、直观的特点，培养学生几何直观的思维方式和几何直观能力；二是充分利用几何课程这一良好载体，培养学生的逻辑推理能力和理性思维。几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力，空间想象能力与空间洞察能力。‎ ‎（一）必修2“立体几何初步”课程教育目标．‎ ‎1.通过立体几何初步的学习，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。‎ ‎2.培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。学生领悟数学思想方法，感受辩证唯物主义观念。‎ ‎（二）选修2—1“空间向量和立体几何”课程教育目标．‎ ‎1.经历向量及其运算由平面向空间推广过程。了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直。‎ ‎2.理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述垂直、平行关系。能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理，解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。‎ 空间向量的引入为处理立体几何中的推论论证及计算问题提供了新视角，为立体几何中的证明、计算提供了通法。一旦建立了坐标系便可着手计算，由计算结果得出几何结论，大大减弱了推理论证的成分，可以避免一些带有技巧性的添加辅助线或构作辅助面等过程。这种向量方法在今后的学习中有着广泛的作用。‎ 三、立体几何知识考试要求 ‎（一）知识要求 必修2第一章空间几何体，第二章点、直线、平面之间的位置关系 选修2-1第三章空间向量与立体几何（理科）‎ 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。‎ ‎（二）知识结构 旧教材：局部到整体，抽象到具体，重演绎推理 新教材：整体到局部，具体到抽象，重归纳推广 ‎ 在立体几何内容设计方面，《标准》采取了更加符合学生认知水平的分层设计的方式。在必修课程“立体几何初步”这一章内容的设计上，遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则。要求学生主要通过直观感知，操作确认，获得几何图形的性质，强调借助实物模型，通过整体观察，直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算，引导学生多角度、多层次的揭示空间图形的本质。并通过简单推理，发现一些几何性质。而将较高要求的推理证明及空间角、距离的计算安排在选修2—1“空间向量和立体几何”中。将原来的“多面体及欧拉公式”内容安排在选修系列3“欧拉公式与封闭曲线分类”专题中。增加了简单空间图形的三视图，台体的表面积和体积。‎ 空间几何体 简单的空间几何体 结构特征 图形表示 侧面积和体积 多面体（棱柱、棱锥、棱台）‎ 结构特征 图形表示 侧面积和体积 旋转体（棱柱、棱锥、棱台、球）‎ 结构特征 图形表示 基本元素（点、线、面）‎ 位置关系 语言描述 判定、性质 直线与直线 位置 关系 语言 描述 判定性质 直线与平面 位置 关系 语言 描述 判定性质 平面与平面 位置 关系 语言 描述 判定性质 侧面积和体积 平面向量及其运算 空间向量及其运算 向量的线性运算 向量的数量积 空间向量的应用 空间线、面的位置关系 空间的角和距离的度量 选修2—1中的“空间向量与立体几何”这一章，是在必修4“平面向量的”基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，用空间向量解决直线、平面位置关系，以及空间向量在求空间角（两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角）和空间距离等方面的应用。‎ ‎（三）《标准》和《大纲》的比较 ‎1、内容要求对比 与《大纲》相比，《标准》对“立体几何初步”这一章的内容安排作了较大幅度的调整。比较《标准》与以往《大纲》中对“立体几何初步”这一章目标的表述如下表:‎ ‎《标准》内容与要求 ‎《大纲》的教学目标 基本要求 拓展要求 空间几何体 ① 利用实物模型、计算机软件察 大量立体图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构.‎ ② 能画出简单立体图形（长方 体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的视图，会用材料将上面的视图复原为立体模型，并会用斜二侧法画出它们的直观图.‎ ③ 通过观察用平行投影与中心 投影这两种方法画出的视图与直观图，了解立体图形的不同形式.‎ ④ 完成实习作业，如画出校舍某 些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不严格要求）.‎ ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表 面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.‎ ‎①学会用运动、变化、联系的观点了解柱、锥、台的联系和区别.‎ ‎②了解与正方体、球有关的简单组合体．‎ ‎③能根据条件判断几何体的类型, 提高观察、分析、抽象、归纳等认知能力，体会分类、类比等思想方法．‎ ‎④能识别长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱以及它们的简单组合的三视图所表示的空间几何体．‎ ‎⑤理解三视图和直观图的联系，并能进行转化；理解斜二侧画法是一种特殊的平行投影画法．‎ ‎⑥会利用球、柱体、锥体、台体及简单组合体的三视图、直观图求球、柱体、锥体、台体及简单组合体的表面积和体积.‎ ‎⑦掌握把多面体或圆台的侧面展成平面图形的方法，初步体会把空间图形化归为平面图形解决问题的思想．‎ ① 了解多面体的概念，‎ 了解凸多面体的概念.‎ ② 了解棱柱的概念，掌 握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．‎ ③ 了解棱锥的概念，掌 握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．‎ ④ 了解正多面体的概 念，了解多面体的欧拉公式．‎ ⑤ 了解球的概念，掌握 球的性质，掌握球的表面积和体积公式．‎ ‎①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解 ‎①会判断两条直线是异面直线并能简要说明理由；‎ ‎②学会将空间问题转化为平面问题的思想方法.③‎ ‎①平面的基本性质；会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面、平面与平面的位置关系，能够根据图形想象它们的位置关系.‎ ‎②‎ 点、线、面之间的位置关系 如下可以作为推理依据的公理和定理．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么该直线也在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．‎ ‎②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间线面平行、垂直的有关性质与判定；面面平行、垂直的有关性质与判定．‎ ‎③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． ‎ 发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力.‎ 掌握两条直线平行与垂直的判定定理；掌握两条直线所成角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）.‎ ‎③掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念；了解三垂线定理及其逆定理. ‎ ‎④掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握二面角、二面角的平面角，两个平行平面间的距离的概念；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.‎ ‎⑤进一步熟悉反证法，会用反证法证明简单问题.‎ 空间向量与立体几何 ‎①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．‎ ‎②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．‎ ‎④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直．‎ ‎⑤理解直线的方向向量与平面的法向量．‎ ‎⑥能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．‎ ‎①能熟练地进行空间向量的线性运算及与坐标表示的互化．‎ ‎②向量的数量积的灵活应用．‎ ‎③能根据具体的几何体建立恰当的空间直角坐标系，把空间的位置关系和度量关系转化为用向量方法处理．‎ ① 理解空间向量的概 念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．‎ ‎②了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算．‎ ‎③掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．‎ ‎④理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．‎ ‎⑦能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．‎ ‎⑧能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．‎ 与《大纲》相比，《标准》这部分内容只要求认识具体几何体。《标准》强调利用实物模型、计算机软件来观察大量的几何体，认识柱、椎、台、球及其组合体的结构特征，强调学生动手操作实习，淡化对这些几何体概念的要求。《标准》增加了三视图的内容，要求能根据简单的几何体的三视图还原立体模型。《标准》还增加了会观察用平行投影画出的视图和直观图以及中心投影画出的直观图的要求，不要求深究平行投影和中心投影的定义及其画法。‎ ‎《标准》对于判定定理只要求操作确认、合情推理，对于性质定理，要求思辨证论、逻辑推理。这样的变化在一定程度上降低了学习的难度，能够有效地激发学生的学习兴趣，更加关注知识的发生发展过程，对学生直观猜想、策略创造这些“宏观方面”思维能力进行了更有效的训练。《标准》中对于平行与垂直，重在定性，而进一步论证与度量则放在选修系列2中，更加突出了这一部分的教学目标，也体现了课程的选择性。‎ 本章添加了整体观察空间几何体，实现了从整体到局部展开几何教学的同时，对传统立体几何内容页做了适当的删减，如线、面平行和垂直四个判定定理的证明以及传统立体几何教学一直视为难点、重点内容的空间角与距离的概念与计算、三垂线定理及其逆定理等．这些内容都在选修2中利用向量解决。‎ 在教学要求方面，对于“空间几何体”从原来的要求了解概念，掌握性质，变为要求认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，对概念、性质则降低了要求。对于空间的位置关系，《标准》所罗列的4个公理，1个定理，8个判定及性质定理更具有基础性，实用性。在选修2—1中再用向量方法加以证明。在处理方式上，与以往点、线、面、体，即从局部到整体展开几何内容的方式不同，《标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，通过简单的推理发现、论证一些结几何性质。进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理。‎ ‎2、课时分配对比 按照2002年《大纲》文科方向或直接就业学生最低要求：（必修+选修Ⅰ）共需324课时；理科方向学生最低要求：（必修+选修Ⅱ）共需368课时。按照新课程标准要完成必修课系列：数学1——数学5的修习，共需180课时。‎ 文科方向对立体几何的要求是：空间几何体（8课时）+点、直线、平面的位置关系（10课时），共18课时；（成都市建议老师补充）‎ 理科方向对立体几何的要求是：空间几何体（8课时）+点、直线、平面的位置关系（10课时）+空间向量及其运算（5课时）+立体几何中的向量方法（5课时）+小结（2课时），共30课时；‎ ‎（四）考试要求 ‎(下表依据2013年四川省《考试说明》)‎ 考试内容 要求层次 文科 理科 A B C A B C 立体 几何 初步 空间 几何体 柱、锥、台、球及其简单组合体 ‎√‎ ‎√‎ 三视图 ‎√‎ ‎√‎ 斜二侧画简单几何体的直观图 ‎√‎ ‎√‎ 球、棱柱和棱锥的表面积体积 ‎√‎ ‎√‎ 点、直线、平面间的位置关系 空间线面位置关系 ‎√‎ ‎√‎ 公理1、2、3、4、定理1‎ ‎√‎ ‎√‎ 线、面平行或垂直的判定 ‎√‎ ‎√‎ 线、面平行或垂直的性质 ‎√‎ ‎√‎ 用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的（位置关系的）简单命题 ‎√‎ ‎√‎ 空间向量与立体几何 空间直角坐标系 空间直角坐标系 ‎√‎ ‎√‎ 空间两点间的距离公式 ‎√‎ ‎√‎ 空间向量及其运算 空间向量的概念 ‎√‎ 空间向量基本定理 ‎√‎ 空间向量的正交分解及其坐标表示 ‎√‎ 空间向量的线性运算及其坐标表示 ‎√‎ 空间向量的数量积及其坐标表示 ‎√‎ 空间向量的运用 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 ‎√‎ 直线的方向向量 ‎√‎ 平面的法向量 ‎√‎ 用向量语言表述线、面位置关系 ‎√‎ 用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理 ‎√‎ 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题 ‎√‎ ‎（五）立体几何新增和删减降低知识．‎ 知识块 理科 文科 立体几何 新增：三视图 降低：三垂线定理 加强：空间向量 不作要求：对棱柱，正棱锥、球的性质 新增：三视图 降低：空间位置关系系的证明，三垂线定理，距离与角度的计算 删掉：空间向量 不作要求：对棱柱，正棱锥、球的性质 ‎（六）立体几何新增知识考查定位．‎ 新增内容 要求 高考考情 考纲要求 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 三视图 会画、能识别 ‎13套有10套考查了三视图 ‎13套有10套考查了三视图 ‎17套有8套考查了三视图 能画能识别三视图 理科加强：空间向量的应用 四、立体几何考情分析．‎ 以2012年全国各省市高考题为例，对立体几何的考情统计如下：‎ 立体几何模块总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ 省、市个数 ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎1‎ 其中2012年全国大纲卷（22分）、全国新课标卷（22分）、浙江卷（24分）、四川卷（26分，其中选择题10分、填空4分、解答题12分），其余省市基本上都是一个选择题加一个解答题。‎ 其中选择题只有一两个省份将其中一道立体几何放在靠后，其余省市均在3—8题之间，填空均在中游位置，解答题均摆放在第2、3个题的位置，难度对所有学生来说都是必得分题型或中档题。‎ 以2013年全国各省市高考题为例，对立体几何的考情统计如下：‎ 省份 课标全国卷1‎ 山东 广东 江苏 天津 浙江 辽宁 福建 安徽 试卷题号 ‎2013理科 ‎6球体积 ‎8三视图体积 ‎20三棱柱线面角 ‎4三棱柱 线面角 ‎18三棱锥 ‎ 二面角 ‎5四棱台 体积 ‎6点线面关系 ‎18 四棱锥 折叠二面角 ‎8三棱柱 等体积 ‎16面面平行 异面直线垂直 ‎4球体积比 ‎17四棱柱 二面角 线面角 线段长 ‎10新定义 垂足 ‎12三视图 体积 ‎20四面体 二面角 ‎13三视图 体积 ‎18三棱锥 二面角 ‎12球 表面积 ‎19三棱柱 线面角 拼接 表面积 ‎3公理 ‎ 15正方体 截面 ‎19线线角 分值 ‎22‎ ‎17‎ ‎22‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎22‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎22‎ 省份 北京 湖南 陕西 全国2‎ 重庆 湖北 江西 四川 ‎ ‎ 试卷题号 ‎2013理课 ‎14点线距 ‎17直三棱柱 二面角 线段比 ‎7三视图 极端化 ‎21直棱柱 线面角 ‎12三视图体积 ‎18斜四棱柱 二面角 ‎7三视图 ‎18直三棱柱 二面角 ‎5三视图 体积 ‎19四棱锥 二面角 ‎8旋转体 体积 ‎9切割 概率 ‎19三种角关系 ‎8公理运用 ‎19四棱锥 二面角 ‎3三视图 ‎19三棱柱 作图 线面垂直 二面角 ‎ ‎ 分值 ‎17‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎22‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎ ‎ ‎2013年各省市立体几何基本上稳定在两种分值：22分（两小题一大题，有11个省市）和17分（一小题一大题，有5个省市），摆放位置与2012年差不多，难度对所有学生来说都是必得分题型或中档题。‎ ‎（一）立体几何在高考中的考查源于课本、高于课本 立足教材，教材是高考命题的重要依据，不少省市，数学试题严格依照《课标》）的要求，并编制了一批“源于教材”的题目，同时有利于保持试卷的连续性和稳定性。‎ 如1：（2010浙江卷（文科8理科12））‎ ‎（文科8题）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，‎ 则此几何体的体积是（ B ）‎ ‎（A）cm3 （B）cm3‎ ‎（C）cm3 （D）cm3‎ ‎（理科12题）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是________.‎ ‎【试题来源】该题源于教材必修2第29页习题1.3B组第1题 （奖杯的三视图）‎ ‎【点评】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题。图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积。‎ 如2．（2012陕西卷（理科18））‎ ‎（Ⅰ）如图，证明命题“是平面内的一条直线，‎ 是外的一条直线（不垂直于），是直线在 上的投影，若，则”为真．‎ ‎（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）‎ ‎【试题来源】该题源于教材选修2-1，空间向量的数量积运算例2 ‎ ‎【点评】实际就是旧教材中的三垂线定理及其逆定理，新教材用向量证明，当然也可以用线面垂直证明。‎ 如3．（2013四川卷（理科19））‎ 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．‎ ‎【试题来源】该题改编自教材必修2的59页例3（锯木料如何画线？）‎ ‎【点评】本题考查基本作图、线面平行与垂直、二面角的计算等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力和用空间向量知识解决立体几何问题的能力。文科（Ⅰ）相同。‎ ‎（二）立体几何在高考中的考查严格按《课标》要求命制，对知识点把握有度 ‎1、《课标》删去了：立体几何中三垂线及逆定理、异面直线的距离、点到面的距离、平行平面的距离、球面距离的求解。只要求掌握空间中的位置关系和空间角度的计算。‎ 如4：2013全国新课标卷(理科20题)‎ 如图，在四面体中，平面,.是的中点， 是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角的大小为，求的大小.（）‎ ‎【点评】本题条件涉及线面、线线垂直关系，（Ⅰ）问涉及面面、线面、线线平行关系。‎ 思路一：综合几何法：取的中点，化归面面；‎ 思路二：取中点，取的三等分点，化归 ；‎ 思路三：基向量法：设法证;‎ 思路四：坐标法：建系，设法证.‎ 本题（Ⅱ）问，不涉及空间距离的计算；角度若非特殊角，只需求出三角函数值。‎ 若用综合几何法求解，用定义去找角的平面角，对作图能力有较高的要求，作图的依据 是几个公理和线面平行、垂直的判定和性质定理。‎ 本题考查平行、垂直间的转化能力和利用空间向量解决相关问题的能力，属中档题。‎ ‎2、《课标》中理科将立体几何作为空间向量的应用呈现。‎ 如5：2013届成都市一诊(理科17题）‎ 如图，矩形中，，平面，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成 锐二面角的余弦值．‎ ‎【点评】以长方体挖切体为载体考查线线、线面平行的性质 及判定，考查向量方法求二面角。本题可以直接建系，‎ 二面角直接指明是锐角，非特殊角只求二面角的余弦值。‎ 用向量法（坐标法）解几何题要：建对系，定好点，算准 法向量，下对结论。此题属中档题。‎ ‎3、立体几何题目呈现代数化趋势。计算题在立体几何中占到了较大比例，这是新高考与大纲高考的不同之处。2013年的立体几何27个小题中有24到都是涉及各类计算。每一份试卷编制都是一问考查位置关系的判定，一问考查角、体积等的计算。当然，计算是在位置判定的基础上进行，其侧重点各不相同。‎ 如6：2013年安徽卷(理科19题）如图，圆锥顶点为。底面圆心为，其母线与底面所成的角为。和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面与平面的交线平行于底面； ‎ ‎（Ⅱ）求。‎ ‎【点评】此题以圆锥为背景，考查空间直线、平面平行关系，线线角、线面角。运算过程中还需结合正切、余弦的二倍角等三角函数公式，综合性较强，运算量较大，属于中高档试题。‎ ‎（三）立体几何的新增知识点在高考中的考查张弛有度，体现新课程理念 立体几何的新增内容是三视图，2013年的三视图在立体几何的理科27个小题、文科25个小题中占了半壁江山。一般是以选择题或者填空题的形式出现，分值一般在5分左右，主要考查柱、锥、台、球的组合体或挖切式的几何体的三视图，常常将表面积和体积公式相结合，要求学生能通过三视图识别出几何模型，并能计算其表面积和体积，也有个别省份嵌入解答题考查. ‎ 如7：2013届成都市一诊文科数学6题 正视图 侧视图 俯视图 已知一空间几何体的三视图如右图所示，则此空间几何体的直观图为（ A ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 如8：2013年四川卷理科3题 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ D ）‎ ‎【点评】这两个题是考查三视图，意在考查学生的空间想象能力以及排除法的思维方式。考查空间几何体的三视图，大致两种方式：一是从组合体立体图得到三视图（如此两题），较容易；一是由三视图还原组合体立体图，相对较难。‎ 如9：2012湖南卷3题 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ D ）‎ ‎【点评】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型。‎ 如10：2012北京卷（理科7题）‎ 某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ B ）‎ A. 28+6 B. 30+6 ‎ C. 56+ 12 D. 60+12‎ ‎【点评】‎ 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积。‎ 此题首先要把几何模型还原，有一定的难度，三棱锥底面 为直角三角形，且有一个侧面与底面垂直，把空间几何体正确 识别后，计算其表面积也有难度，首先要能够证明ACD是直 角三角形，才能计算出三棱锥所有棱的长度，而且ABC为锐角 三角形。‎ ‎（四）立体几何在高考中文科卷的考查有所变化 对文科学生《课标》删去了空间向量（成都市以前建议老师补充），所以在命制试题时与理科有较大差异，文科主要考查空间中平行关系、垂直关系的判断与证明，关于长度、表面积、体积的简单计算等，突出对立体图形的认识、空间想象能力的要求——识图、画图、想图。而课改之前，文理差别不大，所以这是新课改高考试题的一个变化，尤其是上文科的老师要注意这一点。‎ 如11：2014届成都市零诊(文科19题）‎ 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且，、分别为、的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：平面；‎ ‎(Ⅱ) 求三棱锥的体积． ‎ ‎【点评】本题以四棱锥为载体考查线线、线面平行的判定和性质，考查线线、线面、面面垂直的判定和性质，考查三棱锥的体积计算。在目标设置和能要求上，充分反映课标变化。证线面平行时关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，当无现存直线时，一般寻求中点，构造中位线或平行四边形等方法得到。如本题连结后，//。‎ 如12：2013年四川卷(文科19题） ‎ 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．‎ ‎（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积．（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）‎ ‎【点评】本题以四棱柱为载体考查基本作图、线面平行与垂直、棱锥的体积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力。（Ⅰ）问先利用直线作出线面平行的直线，再证明平行和垂直，（Ⅱ）问可利用等体积法转化求解体积（体积公式在题中都给出了）。本题中的空间关系的转化与证明结合了平行与垂直两类关系，实现转化时需要熟悉各个判定和性质定理。等体积变换中关键是找出或作出高（如题中过D作于E），再置换顶点或置换底面（如本题中）达到易于求解体积的目的。‎ 如13：2013年四川卷(文科2题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ D ）‎ ‎（A）棱柱 （B）棱台 （C）圆柱 （D）圆台 ‎【点评】本题考查简单几何体的三视图，意在考查学生的空间想象能力。只需识图、想图，无须画出直观图或还原立体图，就可以得出答案。由俯视图可排除A,B，由主视图可排除D。‎ 还原几何体基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”，所以教材提供的规范三视图摆放规则是：上面是正视图和侧视图，正视图下方是俯视图。‎ 如14：2013年全国卷Ⅱ(文科9题，理科7题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ A ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【点评】本题借助空间直角坐标系考查三视图，颇有“形缺数时难入微”的意韵。文科《课标》删去了空间向量，但教材保留了空间直角坐标系一节，考试要求是了解层次。此题还涉及了“投影”该念，考试要求也是了解层次（四川考试说明未涉及）。空间直角坐标系对文科生而言可以作为平面向量的延伸，平行投影本身就是画出视图的一种方法，用这两者呈现题目，算是自然的，不会影响考查三视图的主旨意图。‎ ‎（五）立体几何在部分省市考查出新 立体几何几何体（三视图）的相关内容，相对淡化传统的证明与计算，学习的基本路径是“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”。考查的问题结构稳定，难度适中；立足基础，正视文理差异；突出几何直观，贴近教材模型；部分省市体现运动变化，动态生成问题，在知识交汇处出新。‎ 如15：2013年江西卷(理科8题）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为，那么（ A ）‎ A.8 B‎.9 C.10 D.11‎ ‎【点评】本题实质就是考查点、线、面的位置关系，涉及图形是两个最常见的几何体，但呈现题目不是以往的符号化的方式，而以直观图方式呈现，让学生直观感知，思辨确认。CE在底面内且与上底面平行，所以不会与上下两个面相交，与其余面都相交，故；因EF与CD垂直，所以EF不会与左右两个面相交，与其余面都相交，故。对于立体几何图形题，注意用好图形的对称性，如本题由正四面体的对称性可知，这是化难为易的关键！‎ 如16：（2012年高考（浙江理10题）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，‎ A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎【点评】这是一个“小压轴“题目。最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，操作确认，即可知选项B是正确的.‎ 如17：（2013年湖南卷（理7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( C )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【点评】本题考查三视图及空间想象能力，同时还考查了函数与方程思想以及特殊化方法，综合性较强。可把正方体按某一侧棱逆时针旋转，当正方体正放时正视图面积最小为1，当正方体逆时针旋转时正视图面积最大为。题中蕴含运动变化的思想。‎ 如18：（2013年湖北卷（理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为，则的均值为（ B ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【点评】本题以生活中的“魔方”构题，入口是正方体，落脚点是期望，既考查了均值，又考查了空间想象能力，一举两得。本题中。‎ 如19：（2013年山东卷（理18）‎ 如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，,与交于点，与交于点，连接.‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ ‎【点评】立体几何中确定空间位置关系的的基本思想是“转化”，即：‎ 线线平行线面平行面面平行 线线垂直线面垂直面面垂直 实质上也是“高维”转化为“低维”的“降维”思想的体现。本题（Ⅰ）问方法一：先证，进而得面，再由线面平行的性质定理得，又因，由公理4得；方法二：在三角形面内点是重心，在三角形面内点是重心，由重心性质可推得，平面内，进而得出。把平面几何知识重心融入立体几何当中，颇有新意。‎ 如20：（2012年上海卷（理14）如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且 ‎，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 .‎ ‎【点评】作BE⊥AD于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD, ‎ 由题设,B与C都是在以AD为焦距的椭球上,且BE、CE都 ‎ 垂直于焦距AD,所以BE=CE. 取BC中点F, ‎ A D B E C 连接EF,则EF⊥BC,BC=2,, ‎ 四面体ABCD的体积,显然,当E在AD中点,即 B是短轴端点时,BE有最大值为b=,所以. ‎ 本题在知识的“交汇点”设置问题，着眼“知识立意”转变为“能力立意”已经成为高考热点。此题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天！‎ 五、2014年立体几何命题趋势分析 综合分析近几年四川高考数学试题和课改地区高考数学试题，本着传承与创新的理念，高考题在立体几何专题呈现以下命题规律：‎ ‎1、从题量和分值来看：一般占1—2个小题，一个解答题，属于中档题，总分值在20分左右。‎ ‎2、从设问方式看：解答题一般两个问，第一问是线面位置关系证明，属于定性分析，第二问是关于角度（一般理科）、关于体积面积的计算（一般文科），属于定量研究。‎ ‎3、从考查的角度看：选择题或填空题主要考察三视图、几何体的表面积与体积，考查基本空间图形或其组合体的认识与应用；解答题主要考察点、线、面的位置关系的判定及应用，空间三种角的计算，即主要考查线线平行、线面平行、面面平行（及垂直）的相互转化（文理科），空间角主要考查线面角与二面角，。而且一般是特殊角，如果不是特殊角，则只要求求出角的三角函数值。角度计算常借助空间向量（法向量和方向向量）的计算来完成（理科）。‎ 总之，本专题主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是高考的热点，也是必考题目，在六道解答题中必有一题，相信在2014年的高考中也是这样.‎ 六、立体几何复习建议 综合分析近几年四川高考数学试题和课改地区高考数学试题，复习立体几何专题时，要注意以下几个方面：‎ ‎1、全面掌握空间几何体的概念和性质，特别是常见几何体如正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的概念、性质及三视图和面积、体积公式，这是进行计算和证明的基础。‎ ‎2、理解简单组合体的特点，特别是正方体、长方体、棱柱等的外接球中棱长与球半径的关系。‎ ‎3、全面掌握线线平行、线面平行、面面平行（及垂直）的判定定理和性质定理，它是我们进行推理与证明的基础。证明时，几何体本身提供条件可直接运用，定理公理性质运用时条件罗列齐全才能得出相应结论，不要跳跃。‎ ‎4、要会画空间几何体的直观图，并能借助图形分析问题、解决问题，培养数形结合的意识。‎ ‎5、对理科要加强空间向量计算（尤其是坐标运算）能力的培养，因为空间角的计算常由空间向量来计算完成。弄清直线方向向量与方向向量所成的角与异面直线所成角的关系，弄清平面法向量与直线方向向量所成的角与线面角的关系，弄清平面法向量与法向量所成的角与二面角的关系，最后一定要下对结论。‎