通锡苏高考数学最后一卷

通锡苏高考数学最后一卷

绝密★启用前 通锡苏2015届高考数学最后一卷 命题人：周坤 李强 王举 顾丹丹 王力 唐泽 周城 李雷 王勇 薄宏志 胡灵星 叶华兴 注意事项：‎ 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共7页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ 2. 答题前请务必将自己的姓名、准考证号用‎0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ 4. 作答试题，必须用‎0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。‎ 5. 如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1.已知集合，，则= ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎2.已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎3.右图是一个算法流程图，则输出的为 ▲ ．‎ ‎【答案】7‎ 4. 已知四个数的平均数为，则这组数据的标准差为 ‎ ‎【答案】‎ 4. 将函数的图像向左平移 个单位后，所得的图像关于轴对称，则的值 ‎ ‎【答案】‎ 5. 已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为 ‎ ‎【答案】‎ 6. 某商店举行抽奖活动，袋中共有形状大小相同的三个红球三个绿球共六个球。顾客随机摸三个球，若是3个红球，则为一等奖；恰有2个红球，则为二等奖，只有1个红球，则为三等奖。则顾客中奖的概率为 ‎ ‎【答案】‎ 7. 如图，边长为1的菱形，，为中点，为中点，则= 。‎ ‎【答案】‎ ‎9.已知表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的序号为 ‎ ‎ ①若则 . ②若则 ‎ ③若则. ④若则 ‎【答案】①③‎ 10. 圆上至少有两点到直线的距离为，则直线的斜率的范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】即圆心到直线的距离要小于，利用点到直线的距离公式可得答案 11. 已知函数 图像与函数图像在交点处切线方程相同，则的值为_________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 设切点为，‎ 则有题意得，解得 12. 已知函数,,若恰好有5个不同的解，则的解集为 ‎ ‎【答案】‎ 13. 在中，角的对边分别是已知，且，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 ‎,由正弦定理得到，而，由，可得。‎ 14. 已知为各项均为正整数的等差数列，，且存在正整数，使得 成等比数列，则所有满足条件的中，公差的最大值与最小值的差为 .‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】‎ 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知的内角的对边分别为，向量 （1） 当时，求的值；‎ （2） 当时，且，求的值.‎ ‎【解析】（1）由题意得：……………………………………………………2分 即得 在三角形中由正弦定理有：…………………………………4分 由以上两式可知：……………………………………………………6分 ‎（2）由平行条件得…………………………………………8分 ‎ …………………………10分 则可得到：……………………………………………………12分 ‎ ………………………………………………14分 ‎ ‎ ‎16.如图，在正方体中，是的中点.‎ ‎（1）、分别是棱、的中点，求证：.‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得，若存在，请确定点位置.；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】‎ （1） 连接，且，‎ 四边形是平行四边形， ‎ ‎，……………………………………………………2分 又，，‎ ‎.……………………………………………………4分 备注：其他方法亦可，酌情给分！‎ （2） 存在，点的位置在于，交于点.………6分 证明如下：是的中点，且是正方形，‎ ‎，……………………………………………………7分 又正方体，‎ ‎ ‎ ‎…………………………………………………………9分 ‎， ‎ ‎，…………………………………………………………11分 ‎，且，‎ ‎，……………………………………………………13分 ‎.……………………………………………………14分 ‎17.已知椭圆的离心率为，且过 它的左右顶点分别是A，B，点 P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AP ，BP分别交和于M，N两点。‎ ‎（1）求此椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求的范围.‎ 解析:(1)由题意知:，又，可得，又因为，代入可求得………………………………………………………………………2分.‎ 所以所求椭圆的标准方程为………………………………………………4分.‎ (2) 设,根据椭圆的对称性,不妨设 根据椭圆方程,易知,………………………………………………5分 的直线方程为:‎ 联立方程组……………………7分,‎ 同理………………………………………………8分;‎ ‎…………………………………10分 在椭圆上,‎ ‎……………14分 ‎18.如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？‎ ‎【解析】‎ 设正三角形长为，如图，设，则，…………………3分 若以为底、为高，则圆柱底面半径 ‎，…………………… 6分 当时，；当时，；‎ 所以……………………………………………………………8分 若以为底、为高，则圆柱底面半径……………………………11分 ‎，‎ ‎，令，得、‎ 当时，；当时，；‎ 所以 ………………………………………………………14分 因为，‎ 所以以为底、为高，且时，体积最大。………………………… 16分 ‎19.已知数列，是其前项和，满足，.‎ （1） 若,‎ ‎ （i）求出的值;‎ ‎ （ii）求的通项公式.‎ ‎（2）是否存在一个各项均为正数的等比数列，存在一个数列满足，如果存在，求出和的通项公式，如果不存在，说明理由。‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（i）由题可得，,‎ ‎， …………………4分 ‎（ii）由题即 时 ‎，作差可得 即 作差可得。………………………………………………………6分 当为偶数时，；‎ 当为奇数时，；‎ 经检验，也符合。………………………………………………………8分 综上，………………………………………10分 （1） 假设存在这样的和，那么，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 成等比，可得 ‎，‎ ‎.…………………………………………………………………………12分 下面检验当时，数列为等比数列。由题得，‎ 当时 作差可得 ‎，显然时也符合上式。‎ ‎………………………………………………14分 为偶数时，，‎ 为奇数时，‎ 显然，‎ 那么，是等比数列，‎ 所以存在这样的等比数列和数列，使得等式成立，‎ ‎，………………………………………………………………16分 20. 已知定义域为，值域为。若，则称在上为“内向函数”，若，则称在上为“外向函数”。‎ （1） 若，试判断在定义域上是“内向函数”还是“外向函数”；‎ （2） 若在上是“内向函数”，求的范围；‎ （3） 若，则称在上为“伪内向函数”。试证：在上是“‎ 伪内向函数”的充要条件是.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意的的定义域A为，值域为满足 在上为“外向函数”……………………………………………………………………2分 ‎ （2）在上是“内向函数”等价于的定义域真包含于值域 ‎，‎ 令，解得，‎ 列表可得在上单调减，上单调增。‎ 当即时，‎ 恒成立，在单调递增.‎ 可得，.‎ 由“内向函数”的定义可知：，且“=”不同时成立，‎ ‎，显然不等式组无解。………………………………………………………4分 当时，‎ ‎，恒成立，在单调递减，‎ ‎.由“内向函数”的定义可知：，且“=”不同时成立，‎ ‎，又因为 ‎，所以不等式组亦无解。……………………………………………6分 当时 当当时，，‎ 为极小值，在区间，为最小值，最大值为或 由“内向函数”的定义可知：，‎ 综上所述解得：………………………………………………………………………8分 经检验，当或时，成立 综上可得得：的范围为…………………………………………………………………10分 （3） 充分性：‎ 把看作关于的函数，显然这是关于的一元一次函数，单调递增。‎ ‎,‎ 下证 令 时，单调递增 ‎，即 在恒成立，那么显然…………………………………………………14分 必要性：‎ 在是“伪内向函数”在恒成立，‎ 当时，…………………………………………………………………16分 证毕 通锡苏2015届高考数学最后一卷 数学附加题 ‎(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ 过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线依次交圆于两点.若，，求的值．‎ ‎【解析】由切割线定理得 即，解得（负值舍去）.‎ 由弦切角定理知，由,故 则,………………………………………………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知M=，试计算 ‎【解析】矩阵M的特征多次式为 对应的特征向量分别为和，而，‎ ‎…………………………………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 已知圆C的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,求直线 截圆C所得的弦长.‎ ‎【解析】圆的方程为 ;直线的方程为 . ‎ 故圆心到直线的距离为所求弦长为 。…………………………10分 D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 已知实数满足求的最小值.‎ ‎【解析】由柯西不等式,, ‎ 因为,所以, ‎ 当且仅当,即时,等号成立, ‎ 所以的最小值为 ………………………………………………10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22.如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，分别是的中点.‎ ‎ （1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎ （2）在上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 答案：以为单位正交基底建立空间直角坐标系,‎ ‎ 易得 ‎ （1）由题意可得，,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为...................（5分）‎ ‎（2）假设存在满足题意的点，并设，‎ ‎ 则 ‎ 设平面的法向量，则，即 ‎ 不妨令，可得平面的法向量 ‎ 若平面，则，易解得，故 ‎ 所以，在上存在一点，使得平面，此时....（10分）‎ ‎23. 在数列中，‎ （1） 当时，分别求出的值，并判断是否为定值；‎ （2） 若为完全平均数，求满足条件的所有正整数的集合.‎ 答案：（1）时，；时，.......（2分）‎ ‎ 构造，则 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 即，恒为定值................（5分）‎ ‎ （2）由（1）知，‎ ‎ 两边同加得，.........（6分）‎ ‎ 不妨令，要使为完全平均数，则，满足 ‎ 记，则..............（8分）‎ ‎ 又 ‎ 则有或 ‎ 解得或 ‎ 即或，又显然数列为单调递增数列，易求：‎ ‎ ‎ ‎ 故满足条件的的集合为...................................（10分）‎