高考理数热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形

高考理数热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形

www.ks5u.com ‎ ‎ ‎【高频考点解读】‎ ‎1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；‎ ‎2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ ‎【热点题型】‎ 题型一 　正、余弦定理的简单运用 ‎【例1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a＝2，b＝，A＝45°，则c＝________．‎ ‎(2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________．‎ ‎【答案】　(1)3＋　(2) ‎【解析】　‎ ‎(1)法一　在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝，因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.‎ 故c＝＝＝＋3.‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．‎ ‎【举一反三】 ‎ ‎(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2c2＝‎2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 ‎(2)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝________．‎ ‎【答案】　(1)A　(2) ‎【解析】　‎ ‎(1)由‎2c2＝‎2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝＝－＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．‎ 题型二 正、余弦定理的综合运用 ‎【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎【解析】　(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝ ‎＝，‎ 因为B＝A＋，‎ 所以sin B＝sin＝cos A＝.‎ 由正弦定理，得b＝＝＝3.‎ ‎(2)由B＝A＋，得cos B＝cos＝－sin A＝－.‎ 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．‎ 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.‎ 因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3× ‎＝.‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．‎ ‎【举一反三】 ‎ 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.‎ ‎(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；‎ ‎(2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．‎ ‎【解析】‎ 所以sin A＋sin B＝3sin C.‎ 由正弦定理可知a＋b＝‎3c.‎ 又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.‎ 由于S＝absin C＝sin C，所以ab＝9，‎ 从而a2－‎6a＋9＝0，‎ 解得a＝3，b＝3.‎ 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 ‎【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为‎2海里的C处的缉私船奉命以‎10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以‎10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．‎ ‎【解析】‎ 则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．‎ 故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．‎ ‎【提分秘籍】‎ 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎【举一反三】 ‎ 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝‎100 m，则山高MN＝________m.‎ ‎【答案】　150‎ ‎【解析】　【高考风向标】‎ ‎ 【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此 ‎【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . ‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故应填入．‎ ‎【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.‎ ‎【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．‎ ‎【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长． ‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为7，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由及正弦定理得，‎ ‎∴，又由，即，得，‎ 解得；（2）由，得，，‎ 又∵，∴，由正弦定理得，‎ 又∵，，∴，故.‎ ‎【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ ‎ 【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎（I）因为，所以，‎ 由正弦定理，得 又，从而，‎ 由于，所以 ‎（2014·天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝‎3c.‎ 又∵b－c＝，∴a＝‎2c，b＝c，‎ ‎∴cos A＝＝＝－.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅱ）设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ ‎【答案】[－1，1]　‎ ‎【解析】在△OMN中，OM＝≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得＝，所以＝sin α∈[1，]，所以0≤x≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．‎ ‎（2014·广东卷）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】（2014·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ ‎【解析】 (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .‎ ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝‎ ‎－.因为0c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎【解析】‎ 所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎（2014·全国卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ ‎【解析】由题设和正弦定理得 ‎3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝.‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】（2014·新课标全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)‎ A．5 B. C．2 D．1‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1××sin B＝，得sin B＝，其中C8 B．ab(a＋b)>16 ‎ C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin ‎2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin ‎2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋， ‎ 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.‎ 由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C ‎，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2　，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.‎ ‎【高考押题】‎ ‎ 1．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝，则B＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】　A ‎【解析】2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为 (　　)‎ A. B. C．2 D．2 ‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　因为S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.‎ ‎3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为 (　　)‎ A．2＋2 B.＋1 ‎ C．2－2 D.－1 ‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　由正弦定理＝及已知条件，得c＝2，‎ 又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.‎ 从而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1. ‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　A ‎【解析】5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是‎60 m，则河流的宽度BC等于 (　　)‎ A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m ‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝‎60 m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝‎ ‎60(2－) (m)，‎ ‎∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．‎ ‎【答案】　或 ‎【解析】　由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.‎ ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．‎ ‎【答案】　2‎ ‎【解析】　由已知及余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，则＝2.‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，则sin B＝________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】9．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.‎ ‎ (1)求cos∠CAD的值；‎ ‎(2)若cos∠BAD＝－，‎ sin ∠CBA＝，求BC的长．‎ ‎【解析】‎ ‎10．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ ‎【解析】　(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.‎ 由正、余弦定理得a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.‎ ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.‎ 由于0

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