江苏高考数学含答案

江苏高考数学含答案

‎2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。‎ ‎1．函数的最小正周期为．‎ ‎【答案】π ‎【解析】T＝||＝||＝π．‎ ‎2．设（为虚数单位），则复数的模为．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝＝5．‎ ‎3．双曲线的两条渐近线的方程为．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令：，得．‎ ‎4．集合共有个子集．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】23＝8．‎ ‎5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．‎ ‎6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．‎ 方差为：．‎ ‎7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则 都取到奇数的概率为．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．‎ ‎8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则．‎ ‎【答案】1：24‎ ‎【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．‎ 又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．‎ ‎9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) ．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是．‎ ‎【答案】[—2，]‎ ‎【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋．‎ 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝．‎ y x O y＝2x—1‎ y＝—x ‎10．设分别是的边上的点，，，‎ 若（为实数），则的值为．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 所以，，，．‎ ‎11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式 的解集用区间表示为．‎ ‎【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)‎ ‎【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。‎ x y y＝x y＝x2—4 x P(5,5)‎ Q(﹣5, ﹣5)‎ ‎12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为 ‎，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为．‎ y x l B F O c b a ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：‎ ‎，解之得：＝，所以，离心率为：．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，‎ 若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为．‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎14．在正项等比数列中，，，则满足的 最大正整数的值为．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知，．‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）设，若，求的值．‎ 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，‎ ‎|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，‎ 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，‎ 所以，．‎ ‎（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－．‎ 所以，α－β＝，α＝＋β，‎ 带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1，‎ 所以，＋β＝．‎ 所以，α＝，β＝．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：‎ ‎（1）平面平面；‎ ‎（2）．‎ 证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，‎ 所以F为SB的中点．‎ 又E，G分别为SA，SC的中点，‎ 所以，EF∥AB，EG∥AC．‎ 又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，‎ 所以，平面平面．‎ ‎（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，‎ AF平面ASB，AF⊥SB．‎ 所以，AF⊥平面SBC．‎ 又BC平面SBC，‎ 所以，AF⊥BC．‎ 又AB⊥BC，AF∩AB＝A，‎ 所以，BC⊥平面SAB．‎ 又SA平面SAB，‎ 所以，．‎ ‎17．x y A l O （本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．‎ 设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，‎ ‎ 求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐 ‎ 标的取值范围．‎ 解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．‎ 设切线为：，‎ d＝，得：．‎ 故所求切线为：．‎ ‎（2）设点M(x，y)，由，知：，‎ 化简得：，‎ 即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．‎ 又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．‎ 故：1≤|CD|≤3，其中．‎ 解之得：0≤a≤．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行 到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两 位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从 乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的 速度为，山路长为，经测量，，．‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，‎ C B A D M N ‎ 乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 解：（1）如图作BD⊥CA于点D，‎ 设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，‎ AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，‎ 知：AB＝52k＝1040m．‎ ‎（2）设乙出发x分钟后到达点M，‎ 此时甲到达N点，如图所示．‎ 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，‎ 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，‎ 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．‎ 若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．‎ 若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．‎ 故乙步行的速度应控制在[，]范围内．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，‎ ‎，其中为实数．‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：．‎ 证：（1）若，则，，．‎ 当成等比数列，，‎ 即：，得：，又，故．‎ 由此：，，．‎ 故：（）．‎ ‎（2），‎ ‎． (※)‎ 若是等差数列，则型．‎ 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，‎ 故有：，即，而≠0，‎ 故．‎ 经检验，当时是等差数列．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数，，其中为实数．‎ ‎（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．‎ 解：（1）≤0在上恒成立，则≥，．‎ 故：≥1．‎ ‎，‎ 若1≤≤e，则≥0在上恒成立，‎ 此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；‎ 若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．‎ 故的取值范围为：＞e．‎ ‎（2）≥0在上恒成立，则≤ex，‎ 故：≤．‎ ‎．‎ ‎(ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)；‎ 令＜0得减区间为(，﹢∞)．‎ 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；‎ 当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号．‎ 故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．‎ ‎(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．‎ ‎(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，‎ 即：在上是单调增函数，‎ 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．‎ 此时，f(x)有1个零点．‎ 综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．‎ www.ks5u.com