详细解析高考数学试题全国旧课程理科

详细解析高考数学试题全国旧课程理科

‎2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设集合和都是自然数集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，象20的原象是 A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】，解得．‎ ‎2．在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】所求复数为．‎ ‎3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是 A． B． C．6 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设长、宽和高分别为，则，∴，‎ ‎∴，∴对角线长．‎ ‎4．已知，那么下列命题成立的是 A．若是第一象限角，则 B．若是第二象限角，则 C．若是第三象限角，则 D．若是第四象限角，则 ‎【答案】D ‎【解析】用特殊值法：取，A不正确；取，B不正确；‎ 取，C不正确；D正确．‎ ‎5．函数的部分图像是 ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数是奇函数，A、C错误；且当时，．‎ ‎6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：‎ ‎ ‎ 某人一月份应交纳此项税款元，则他的当月工资、薪金所得介于 A．800~900元 B．900~1200元 C．1200~1500元 D．1500~2800元 ‎【答案】C ‎【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为元，所以选C．‎ ‎7．若，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】方法一：；‎ ‎，所以B正确．‎ 方法二：特殊值法：取，即可得答案．‎ ‎8．以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆上任意一点，直径为2，则，即．‎ ‎9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆柱的半径为，则高，．‎ ‎10．过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的标准方程为，设直线的方程为，由题设条件可得 ‎，解得，由于切点在第三象限，所以，所求切线．‎ ‎11．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】特殊值法．作轴，即将代入抛物线方程得，‎ ‎∴．‎ ‎【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．‎ ‎12．如图，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设圆锥的底面半径为，高为，上半部分由共底的两个圆锥构成，过向轴作垂线，垂足为，，∴，原圆锥的体积为，解得，∴．‎ ‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．‎ ‎13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 ‎ 种（用数字作答）．‎ ‎【答案】252‎ ‎【解析】不同的出场安排共有．‎ ‎14．椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一：（向量法）设，由题设，即，，又由得，代入并化简得 ‎，解得．‎ 方法二：（圆锥曲线性质）设，∵，∴，又，‎ ‎，当为钝角时，，解得．‎ ‎15．设是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】条件化为，∵∴，即，累成得．‎ ‎16．如图，分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正 方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都 填上）‎ ‎ ‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）当函数取得最大值时，求自变量的集合；‎ ‎（II）该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？‎ ‎【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ． ——6分 取得最大值必须且只需，即．‎ 所以当函数取得最大值时，自变量的集合为 ——8分 ‎（Ⅱ）将函数依次进行如下变换：‎ ‎（i）把函数的图像向左平移，得到函数的图像；‎ ‎（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 的图像；‎ ‎（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横纵坐标不变），得到函数 的图像；‎ ‎（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数的图像；综上得到函数的图像． ——12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知平行六面体的底面是菱形，且 ‎．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）假定，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．‎ ‎【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：连结，和交于，连结．‎ ‎∵ 四边形是菱形，∴．‎ 又∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ， ——2分 但，∴平面，‎ 又平面，∴． ——4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎∴是二面角的平面角．‎ 在中，，‎ ‎∴． ——6分 ‎∵，∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴，即．‎ 作，垂足为．∴ 点是的中点，且，‎ 所以． ——8分 ‎（Ⅲ）当时，能使平面 证明一：∵ ，∴，‎ 又，由此可推得．‎ ‎∴ 三棱锥是正三棱锥． ——10分 设与相交于．‎ ‎∵，且，∴．‎ 又是正三角形的边上的高和中线，‎ ‎∴ 点是正三角形的中心，∴ 平面．‎ 即平面． ——12分 证明二：由（Ⅰ）知，平面，‎ ‎∵平面，∴． ——10分 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，‎ 同的证法可得，‎ 又，∴平面． ——12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数，其中．‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）求的取值范围，使函数在区间上是单调函数．‎ ‎【解】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）不等式即，‎ 由此得，即，其中常数．‎ 所以，原不等式等价于即 ——3分 所以，当时，所给不等式的解集为；‎ 当时，所给不等式的解集为． ——6分 ‎（Ⅱ）在区间上任取，使得．‎ ‎ ‎ ‎ ． ——8分 ‎（ⅰ）当时，∵，∴，‎ 又，∴，即．‎ 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数． ——10分 ‎（ii）当时，在区间上存在两点，满足，，即，‎ 所以函数在区间上不是单调函数．‎ 综上，当且仅当时，函数在区间上是单调函数． ——12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；‎ ‎（II）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．‎ ‎【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．‎ ‎（Ⅰ）因为是等比数列，故有，‎ 将代入上式，得 ‎， ——3分 即，‎ 整理得，‎ 解得或． ——6分 ‎（Ⅱ）设的公比分别为，．‎ 为证不是等比数列，只需证．‎ 事实上，，‎ ‎．‎ 由于，又不为零，‎ 因此，故不是等比数列． ——12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．‎ ‎（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图二表示的种植 成本与时间的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？‎ ‎（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）‎ ‎【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．‎ ‎（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 ‎ ——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 ‎． ——4分 ‎（Ⅱ）设时刻的纯收益为，则由题意得 即 ——6分 当时，配方整理得，‎ 所以，当时，取得区间上的最大值100；‎ 当时，配方整理得 所以，当时，取得区间上的最大值． ——10分 综上，由可知，在区间上可以取得最大值100，此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分 ‎22．（本小题满分14分）‎ 如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过三点，且以为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．‎ ‎【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分． ‎ 如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立直角坐标系，则轴．‎ 因为双曲线经过点，且以为焦点，由双曲线的对称性知关于轴对称． ——2分 依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．‎ 由定比分点坐标公式得 ‎．‎ 设双曲线的方程为，则离心率．‎ 由点在双曲线上，将点的坐标和代入双曲线方程得 ‎， ①‎ ‎． ② ——7分 由①式得， 　　③‎ 将③式代入②式，整理得，‎ 故． 　　 ——10分 由题设得，．‎ 解得．‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为． ——14分