北京高考数学试题理
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是
（A）M＝P （B）PM （C）MP （ D）
（2）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）若，且，则向量与的夹角为
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
（4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
（A）π （B）2π （C）4π （D）6π
（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)
0；④.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .
（14）已知n次多项式,
如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的
值共需要 次运算．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共13分）
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
（16）（本小题共14分）
如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未E，
（I）求证：BD⊥A1C；
（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．
（17）（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，
（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（II）求乙至多击中目标2次的概率；
（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
（18）（本小题共14分）
如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
（I）分别用不等式组表示W1和W2；
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
（19）（本小题共12分）
设数列{an}的首项a1=a≠，且,
记，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求．
（20）（本小题共14分）
设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；
（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；
（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学
（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）－；－ （11）15 （12）(1, e)；e
（13）②③ （14）n(n＋3)；2n
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
（16）（共14分）
（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，
在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，
即二面角A1－BD－C1的大小为90°．
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，
在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为．
（17）（共13分）
解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
ξ
0
1
2
3
P
P(ξ＝3)＝，
ξ的概率分布如下表：
Eξ＝, （或Eξ=3·=1.5）；
（II）乙至多击中目标2次的概率为1－=；
（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1＋B2，
B1，B2为互斥事件．
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
（18）（共14分）
解：（I）W1={(x, y)| kx0}，
（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得
, 即，
由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，
所以 ，即,
所以动点P的轨迹C的方程为；
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
由，得
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且
△=>0
设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则, ,
设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，
由得
从而，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
（19）（共12分）
解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；
（II）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,
所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),
猜想：{bn}是公比为的等比数列·
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·
（III）.
（20）（共14分）
（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．
当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1f(x1)，
这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间.
当f(x1)≤f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*<≤x1f(x2)，
这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.
（II）证明：由（I）的结论可知：
当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；
当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ②
将②代入①得
x1≤0.5－r, x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．
（III）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．
