不等式选讲历年高考真题专项突破

不等式选讲历年高考真题专项突破

‎《不等式选讲》历年高考真题专项突破 ‎ 整理人：毛锦涛 命题角度1．含有绝对值不等式的解法 ‎1．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．‎ ‎2．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎3．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．‎ ‎4．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．‎ ‎5． 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．‎ ‎（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；‎ ‎（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．‎ 命题角度2．含有绝对值的函数的图像与应用 ‎6．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎7．设函数f（x）=|2x﹣4|+1．‎ ‎（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．‎ ‎8. 已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．‎ ‎（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；‎ ‎（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．‎ 命题角度3．不等式的证明与最值 ‎9．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）≥2；‎ ‎（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．‎ ‎10．若a＞0，b＞0，且+=．‎ ‎（Ⅰ）求a3+b3的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．‎ ‎11．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：‎ ‎（1）若ab＞cd，则+＞+；‎ ‎（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．‎ ‎12．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎13．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎14.设a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求证：|2x+y-4|＜a.‎ ‎15. 若函数的最小值为5，则实数a=_______.‎ ‎16．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．‎ ‎（1）求a+b+c的值；‎ ‎（2）求a2+b2+c2的最小值．（柯西不等式）‎ ‎　‎ ‎17.已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（I）求实数，的值；‎ ‎（II）求的最大值．（柯西不等式）‎ ‎2017年03月30日小毛的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共13小题）‎ ‎1．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）‎ 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．‎ 设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：‎ 结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．‎ ‎（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．‎ 故﹣≥a﹣2，解得 a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．‎ ‎　‎ ‎2．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为[﹣3，0]．‎ ‎　‎ ‎3．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为 ‎|x﹣1|≥2．‎ 由此可得x≥3或x≤﹣1．‎ 故不等式f（x）≥3x+2的解集为 ‎{x|x≥3或x≤﹣1}．‎ ‎（Ⅱ）由f（x）≤0得 ‎|x﹣a|+3x≤0‎ 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}‎ 由题设可得﹣=﹣1，故a=2‎ ‎　‎ ‎4．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，‎ ‎∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，‎ ‎|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，‎ ‎∴﹣2≤x﹣1≤2，‎ 解得﹣1≤x≤3，‎ ‎∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．‎ ‎（2）∵g（x）=|2x﹣1|，‎ ‎∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，‎ ‎2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，‎ ‎|x﹣|+|x﹣|≥，‎ 当a≥3时，成立，‎ 当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，‎ ‎∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，‎ 解得2≤a＜3，‎ ‎∴a的取值范围是[2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎5．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．‎ ‎（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；‎ ‎（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=．‎ 当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．‎ 所以﹣3≤f（x）≤3．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；‎ 当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}；‎ 当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．‎ 综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，‎ 即①，或②，‎ 或③．‎ 解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．‎ 综上可得，原不等式的解集为（，2）．‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，‎ 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），‎ B（2a+1，0），‎ 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），‎ 由△ABC的面积大于6，‎ 可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．‎ 故要求的a的范围为（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎7．（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．‎ ‎（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，‎ 函数y=f（x）的图象如图所示．‎ ‎（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）‎ 当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．‎ 故不等式f（x）≤ax的解集非空时，‎ a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）≥2；‎ ‎（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，‎ 故不等式f（x）≥2成立．‎ ‎（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，‎ ‎∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．‎ 当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．‎ 综上可得，a的取值范围（，）．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+=．‎ ‎（Ⅰ）求a3+b3的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，‎ ‎∴=+≥2，∴ab≥2，‎ 当且仅当a=b=时取等号．‎ ‎∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，‎ ‎∴a3+b3的最小值为4．‎ ‎（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．‎ 而由（1）可知，2≥2=4＞6，‎ 故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：‎ ‎（1）若ab＞cd，则+＞+；‎ ‎（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．‎ ‎【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，‎ ‎（+）2=c+d+2，‎ 由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，‎ 则＞，‎ 即有（+）2＞（+）2，‎ 则+＞+；‎ ‎（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，‎ 即为a+b+2＞c+d+2，‎ 由a+b=c+d，则ab＞cd，‎ 于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，‎ ‎（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，‎ 即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；‎ ‎②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，‎ 即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，‎ 由a+b=c+d，则ab＞cd，‎ 则有（+）2＞（+）2．‎ 综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．‎ ‎　‎ ‎11．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】‎ 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：‎ a2+b2+c2≥ab+bc+ca，‎ 由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，‎ 所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．‎ ‎（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，‎ 故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．‎ 所以++≥1．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，‎ 解得：x＞﹣1，‎ ‎∴﹣1＜x＜，‎ 当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，‎ 此时不等式恒成立，‎ ‎∴≤x≤，‎ 当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，‎ 解得：x＜1，‎ ‎∴＜x＜1，‎ 综上可得：M=（﹣1，1）；‎ 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，‎ ‎（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，‎ 即a2b2+1＞a2+b2，‎ 即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，‎ 即（ab+1）2＞（a+b）2，‎ 即|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．‎ ‎（1）求a+b+c的值；‎ ‎（2）求a2+b2+c2的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，‎ 当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，‎ 又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，‎ 所以f（x）的最小值为a+b+c，‎ 所以a+b+c=4；‎ ‎（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，‎ ‎（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，‎ 即a2+b2+c2≥‎ 当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．‎ 所以a2+b2+c2的最小值为．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，‎ 由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：‎ ‎（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得 当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；‎ 当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，‎ 即有﹣1＜x＜或1＜x＜；‎ 当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．‎ 综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．‎ 则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．‎ ‎　‎