辽宁理科数学高考试题及答案

辽宁理科数学高考试题及答案

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）‎ ‎（1） 已知集合，,则 A∩B=（ ）。‎ ‎（A）｛-1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛0，1，2｝‎ ‎（2）若为实数且,则=（ ）。‎ ‎（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2‎ ‎（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）。‎ ‎（A） 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著；‎ ‎（B） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 ‎（C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 ‎（D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎（4）等比数列满足，，则（ ）。‎ ‎（A）21 （B）42 （C）63 （D）84‎ ‎（5）设函数，则（ ）。‎ ‎ （A）3 （B）6 （C）9 （D）12‎ ‎（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如 右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比 值为（ ）。‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）过三点的圆交轴于两点，则=（ ）。‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名 著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序 框图，若输入 分别为 14,18，则输出的=‎ ‎（ ）。‎ ‎（A）0 （B）2 （C）4 （D）14‎ ‎(9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90o,C为球面上的动点。若三棱锥O-ABC体积的最大值为36 ，则球O的表面积为（ ）。‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(10) 如图，长方形ABCD的边 AB=2，BC=1，O 是AB的中点，点P沿着边 BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数，则的图像大致为( ).‎ ‎（ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知 A，B 为双曲线E的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）。‎ ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ ‎，‎ ‎（12）设函数是奇函数的导函数，。当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）。‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎（13）设向量不平行，向量与平行，则实数 。‎ ‎（14）若满足约束条件，则的最大值为 。‎ ‎（15）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则 。‎ ‎（16）设是数列的前项和，且，，则 。‎ 三、解答题：‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍。‎ ‎（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，求和的长。‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A,B两底分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：‎ A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ 93 ‎48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎（Ⅰ）根据两组数据完成两地用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件Ｃ：“Ａ地区用户的满意度等级高于Ｂ地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求Ｃ的概率。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4。过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。‎ ‎（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎（20）（本小题满分12分） 已知椭圆C：，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。‎ ‎（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。‎ ‎（21）（本小题满分12分）设函数。‎ ‎（Ⅰ）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围。‎ ‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分，做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎ 如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边交于M,N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E,F两点。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若AG等于⊙O的半径，且，‎ 求四边形EBCF的面积。‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线(为参数，)，其中。在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ‎，曲线。‎ ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标； （Ⅱ）若与相交于点A，与相交于点B，求|AB|的最大值。‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设均为正数，且 ‎，证明：（Ⅰ）若，则；‎ ‎（Ⅱ）是的充要条件。‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B C D C B C B D A ‎【详细解析】‎ ‎（1）本题是集合题，辽宁的理科题一般不与其他知识综合，‎ 本次命题结合了一元二次不等式的解法。‎ ‎（10）当时，点P在线段BC上，如图：‎ ‎，。于是 ‎。该表达式不是的一次函数形式，因而排除选项A,C。‎ 设，则。，是单调递增函数，而且递增的速度越来越快。所以选B。‎ ‎（11）如图，设双曲线的方程为，，‎ ‎，解得。所以该双曲线为等轴双曲线，离心率为。‎ ‎（12）设，则。当时，，所以此时，即在上是单调递减函数。据此可得的图象如图：选A。‎ 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15.3 16.‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）设BC边上的高为，则，。‎ 因为，所以。平分，由根据三角形内角平分线性质定理知，。根据正弦定理得。于是。‎ ‎（Ⅱ）.在和中，由余弦定理可知 ‎，‎ 即；‎ ‎，‎ 即。‎ 因为，所以解得。。‎ 于是。‎ ‎（18）（Ⅰ）解：两地区用户满意度评分的茎叶图如右图：‎ ‎ 从茎叶图可以看出A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散。‎ ‎（Ⅱ）解：A,B两地区评分等级概率如下表：‎ A地区 B地区 满意度等级 不满意 满意 非常满意 不满意 满意 非常满意 概率 设事件A表示“‎ A地区的满意度等级为满意或非常满意，而B地区的满意度评分等级为不满意”，则；设事件B表示“A地区的满意度评分等级为非常满意，而B地区的满意度评分等级为满意”，则。‎ ‎。‎ ‎(19)解:(Ⅰ)交线围成的正方形如右图：‎ 过E点作EM⊥AB,在AB上取MH=6，则EH=10，即 EH=EF。作HG∥AD,交CD于点G。连结FG。四边形EFGH即为所求作的正方形。‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知AH=10.以D为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则，，，。‎ 所以，。设是平面EFGH的法向量，则 ‎，即，所以可以取。又，‎ 故。所以AF与平面所成角的正弦值为。‎ ‎（20）（Ⅰ）证明：设，，，则。两式两端作差得，因式分解得 ‎。。因为直线不过原点O且不平行于坐标轴，所以，。两端同时除以，并整理得，即。‎ ‎（21）证明：因为，所以。‎ 若则当时，，所以；当时，，所以。‎ 若则当时，，所以；当时，，所以。‎ 所以在单调递减，在单调递增。‎ ‎（22）（Ⅰ）证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线。又因为分别与AB，AC相切于点E,F，所以AE=AF。于是AD⊥EF。所以EF∥BC。‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE=AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线。又EF为的弦，所以O在AD上。连结OE，OM，则OE⊥AE。由AG等于的半径得AO=2OE，所以。因此△ABC和△AEF为正三角形。‎ 因为，所以，。因为 ‎，，所以。于是，。‎ ‎ 所以四边形EBCF的面积为 ‎。‎ ‎（23）解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，即 ‎；‎ 曲线的普通方程为，即。‎ 联立，解得或，即交点为和。‎ ‎（Ⅱ）,,即。‎ 因为，所以解得A点对应参数。‎ ‎，，。‎ 因为，所以解得B点对应参数。‎ ‎ ‎ ‎。当时，取最大值4.‎ ‎（24）（Ⅱ）是的充要条件。‎ 证明：（Ⅰ），。‎ 因为，，所以。‎ 因此。‎ ‎（Ⅱ）充分性：因为，所以。‎ ‎ 。因为，所以。‎ ‎ ，。所以。‎ ‎ 所以。‎ ‎ 必要性：因为，所以，‎ 即。因为，所以。‎ ‎，，‎ 所以，即。‎ ‎ 综上所述，是的充要条件。‎