高考数学专题19圆锥曲线综合1

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高考数学专题19圆锥曲线综合1

培优点十九 圆锥曲线综合 ‎1.直线过定点 例1:已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于,两点,且.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)若直线是圆上的点处的切线,点是直线上任一点,过点作椭圆的切线,,切点分别为,,设切线的斜率都存在.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析,.‎ ‎【解析】(1)由已知,设椭圆的方程为,‎ 因为,不妨设点,代入椭圆方程得,‎ 又因为,所以,,所以,,‎ 所以的方程为.‎ ‎(2)依题设,得直线的方程为,即,‎ 设,,,‎ 由切线的斜率存在,设其方程为,‎ 联立得,,‎ 由相切得,‎ 化简得,即,‎ 因为方程只有一解,所以,所以切线的方程为,‎ 即,同理,切线的方程为,‎ 又因为两切线都经过点,所以,所以直线的方程为,‎ 又,所以直线的方程可化为,‎ 即,令,得,‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎2.面积问题 例2:已知椭圆的左、右焦点分别为、,焦距为4,直线与椭圆相交于、两点,关于直线的对称点在椭圆上.斜率为的直线与线段相交于点,与椭圆相交于、两点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由椭圆焦距为4,设,,连结,设,‎ 则,又,得,,‎ ‎,‎ 解得,,所以椭圆方程为.‎ ‎(2)设直线方程:,、,‎ 由,得,所以,‎ 由(1)知直线:,代入椭圆得,,得,由直线与线段相交于点,得,‎ ‎,‎ 而与,知,,‎ 由,得,所以,‎ 四边形面积的取值范围.‎ ‎3.参数的值与范围 例3:已知抛物线的焦点,点在抛物线上,过焦点的直线交抛物线于,两点.‎ ‎(1)求抛物线的方程以及的值;‎ ‎(2)记抛物线的准线与轴交于点,若,,求的值.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)抛物线的焦点,‎ ‎,则,抛物线方程为;‎ 点在抛物线上,.‎ ‎(2)依题意,,设,设、,‎ 联立方程,消去,得.‎ 所以 ①,且,‎ 又,则,即,‎ 代入①得,消去得,‎ ‎,则,,‎ 则 ‎,‎ 当,解得,故.‎ ‎4.弦长类问题 例4:已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线与相交于,两点,与相交于,两点,且,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由题意可知:,又椭圆的上顶点为,‎ 双曲线的渐近线为:,‎ 由点到直线的距离公式有:,∴椭圆方程.‎ ‎(2)易知直线的斜率存在,设直线的方程为,代入,消去并整理得:‎ ‎,‎ 要与相交于两点,则应有:,‎ 设,,‎ 则有:,.‎ 又.‎ 又:,所以有:,‎ ‎,②‎ 将,代入,消去并整理得:,‎ 要有两交点,则.③‎ 由①②③有.‎ 设、.有,,‎ ‎.‎ 将代入有.‎ ‎,令,,‎ 令,.‎ 所以在内恒成立,故函数在内单调递增,‎ 故.‎ ‎5.存在性问题 例5:已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆有两个不同交点,时,能在直线上找到一点,在椭圆上找到一点,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)不存在,见解析.‎ ‎【解析】(1)设椭圆的焦距为,则,‎ ‎∵在椭圆上,∴,‎ ‎∴,,故椭圆的方程为.‎ ‎(2)假设这样的直线存在,设直线的方程为,‎ 设,,,,的中点为,‎ 由,消去,得,‎ ‎∴,且,故且,‎ 由,知四边形为平行四边形,‎ 而为线段的中点,因此为线段的中点,‎ ‎∴,得,‎ 又,可得,∴点不在椭圆上,‎ 故不存在满足题意的直线.‎ 对点增分集训 一、解答题 ‎1.已知动圆过点并且与圆相外切,动圆圆心的轨迹为.‎ ‎(1)求曲线的轨迹方程;‎ ‎(2)过点的直线与轨迹交于、两点,设直线,设点,直线交于,求证:直线经过定点.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)由已知,,‎ 轨迹为双曲线的右支,,,,‎ 曲线标准方程.‎ ‎(2)由对称性可知,直线必过轴的定点,‎ 当直线的斜率不存在时,,,,知直线经过点,‎ 当直线的斜率存在时,不妨设直线,,,‎ 直线,当时,,,‎ 得,,,‎ 下面证明直线经过点,即证,即,‎ 即,由,,‎ 整理得,,即 即证经过点,直线过定点.‎ ‎2.已知点在椭圆上,设,分别为椭圆的左顶点、下顶点,原点到直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设为椭圆在第一象限内一点,直线,分别交轴、轴于,两点,求四边形的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)因为椭圆经过点,有,‎ 由等面积法,可得原点到直线的距离为,‎ 联立两方程解得,,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点,则,即.‎ 直线,令,得.‎ 从而有,同理,可得.‎ 所以四边形的面积为 ‎.‎ 所以四边形的面积为.‎ ‎3.已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足,.‎ ‎(1)当点在圆上运动时,判断点的轨迹是什么?并求出其方程;‎ ‎(2)若斜率为的直线与圆相切,与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点,,且(其中是坐标原点),求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)是以点,为焦点,焦距为2,长轴长为的椭圆,;(2).‎ ‎【解析】(1)由题意是线段的垂直平分线,‎ 所以,‎ 所以点的轨迹是以点,为焦点,焦距为2,长轴长为的椭圆,‎ ‎∴,,,‎ 故点的轨迹方程是.‎ ‎(2)设直线:,,,‎ 直线与圆相切,得,即,‎ 联立,消去得:,‎ ‎,得,‎ ‎,,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 所以,得,‎ ‎∴,解得或,‎ 故所求范围为.‎ ‎4.已知椭圆的焦距为,离心率为,圆,,是椭圆的左右顶点,是圆的任意一条直径,面积的最大值为2.‎ ‎(1)求椭圆及圆的方程;‎ ‎(2)若为圆的任意一条切线,与椭圆交于两点,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)设点到轴距离为,则,易知当线段在轴时,,,‎ ‎,,,,,‎ 所以椭圆方程为,圆的方程为.‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时;‎ 设直线方程为:,直线为圆的切线,,,‎ 直线与椭圆联立,,得,‎ 判别式,由韦达定理得:,‎ 所以弦长,令,‎ 所以;‎ 综上,,‎ ‎5.如图,己知、是椭圆的左、右焦点,直线经过左焦点,且与椭圆交,两点,的周长为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)是否存在直线,使得为等腰直角三角形?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)不存在,见解析.‎ ‎【解析】(1)设椭圆的半焦距为,因为直线与轴的交点为,故.‎ 又的周长为,即,故,所以,.‎ 因此,椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)不存在.理由如下:‎ 先用反证法证明不可能为底边,即.‎ 由题意知,设,,假设,则,‎ 又,,代入上式,消去,得:.‎ 因为直线斜率存在,所以直线不垂直于轴,所以,故.‎ ‎(与,,矛盾)‎ 联立方程,得:,所以矛盾.‎ 故.‎ 再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰.‎ 假设为等腰直角三角形,不妨设为直角顶点.‎ 设,则,在中,由勾股定理得:,此方程无解.故不存在这样的等腰直角三角形.‎
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