高考数学第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算更多资料关注微博高中学习资料库

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‎《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章　平面向量与复数第1课时　平面向量的概念与线性运算 考情分析 考点新知 ‎① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.‎ ‎②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.‎ ‎③了解向量的线性运算性质及其几何意义．‎ ‎　　掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.‎ ‎1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝________．‎ 答案：b－a 解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ‎2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝________．(用b、c表示)‎ 答案：b＋c 解析：因为＝2，所以－＝2(－)，即3＝＋2＝c＋2b，故＝b＋c.‎ ‎3. (必修4P63练习第6题改编)设四边形ABCD中，有＝且||＝，则这个四边形是________．‎ 答案：等腰梯形 解析：＝∥，且||＝||，∴ ABCD为梯形．又||＝||，∴四边形ABCD的形状为等腰梯形．‎ ‎4. (必修4P66练习第2题改编)设a、b是两个不共线向量，＝‎2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D三点共线，则实数p＝________．‎ 答案：－1‎ 解析：∵ ＝＋＝‎2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.‎ 即∴ p＝－1.‎ ‎1. 向量的有关概念 ‎(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||.‎ ‎(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．‎ ‎(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．‎ ‎(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．‎ 规定：0与任一向量平行．‎ ‎(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．‎ ‎(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．‎ ‎2. 向量加法与减法运算 ‎(1) 向量的加法 ‎①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．‎ ‎②法则：三角形法则；平行四边形法则．‎ ‎③运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．‎ ‎(2) 向量的减法 ‎①定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．‎ ‎②法则：三角形法则．‎ ‎3. 向量的数乘运算及其几何意义 ‎(1) 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：‎ ‎① |λa|＝|λ||a|；‎ ‎②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.‎ ‎(2) 运算律：设λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．‎ ‎4. 向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　平面向量的基本概念 例1　给出下列六个命题：‎ ‎①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎③若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形；‎ ‎④在ABCD中，一定有＝；‎ ‎⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；‎ ‎⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中错误的命题有________．(填序号)‎ 答案：①②③⑥‎ 解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确；＝，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．‎ 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|·a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题个数是________．‎ 答案：3‎ 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②、③也是假命题，填3.‎ 题型2　向量的线性表示 例2　平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.‎ 解：＝a－b，＝＝a－b，＝＋＝a＋b.＝a＋b，＝＋＝＋＝＝a＋b.＝－＝a－b.‎ 在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.‎ 解：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.‎ 又＝＋＝＋m＝＋(＋)‎ ‎＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，‎ ‎∴解得λ＝m＝，‎ ‎∴＝a＋b.‎ 题型3　共线向量 例3　设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1) 若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；‎ ‎(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎(1) 证明：∵ ＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线．‎ 又它们有公共点B，∴ A、B、D三点共线．‎ ‎(2) 解：∵ ka＋b与a＋kb共线，‎ ‎∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ 又a、b是两不共线的非零向量，‎ ‎∴ k－λ＝λk－1＝0.‎ ‎∴ k2－1＝0.∴ k＝±1.‎ 已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________．‎ 答案：λμ＝1‎ 解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.‎ 题型4　向量共线的应用 例4　如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．‎ 答案： 解析：如图所示，设M是AC的中点，则 ＋＝2.‎ 又＋＝－2，‎ ‎∴＝－，‎ 即O是BM的中点，‎ ‎∴ S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，‎ 即＝.‎ 如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，‎ 试确定λ的值．‎ 解：∵＝－＝(－)‎ ‎＝(＋)＝，‎ ＝－＝＋λ，‎ 又∵＝，∴＋λ＝，‎ 即λ＝，∴λ＝.‎ ‎1. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________．(用向量a和b表示)‎ 答案：a＋b 解析：因为＝＋＝＋＝a＋b，‎ 又＝2，所以＝＝＝a＋b.‎ ‎2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．‎ 答案：2‎ 解析：＋＝＝2，则λ＝2.‎ ‎3. (2013·江苏)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝DC，若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．‎ 答案： 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝λ1＋λ2，故λ1＝－，λ2＝，则λ1＋λ2＝.‎ ‎4. 已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．‎ 答案： 解析：由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴ 2＋4＝3，即4＝5.‎ ‎∴＝，＝＝.‎ ‎1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．‎ 答案：2 ‎ 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，所以＋＝，又O为AC的中点，所以＝2，所以＋＝2，因为＋＝λ，所以λ＝2. ‎ ‎2. 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________．‎ 答案：1‎ 解析：∵ A，B，C三点共线，∴＝λ，即－＝λ－λ，∴＝(1－λ)＋λ，即x＝1－λ，y＝λ，∴ x＋y＝1.‎ ‎3. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．‎ 答案： 解析：易知DE＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.‎ ‎4. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．‎ ‎(1) 求＋＋；‎ ‎(2) 若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.‎ ‎(1) 解：因为＋＝2，又2＝－，所以＋＋＝－＋＝0.‎ ‎(2) 证明：因为＝(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P、G、Q三点共线，得∥，所以有且只有一个实数λ，使＝λ.又＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝‎ λ.‎ 又a、b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝‎ m＋n，故＋＝3.‎ ‎1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．‎ ‎2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．‎ ‎3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．‎ ‎[备课札记]‎