数列高考题型分类汇总

数列高考题型分类汇总

题型一 ‎1．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ 题型二 ‎2．已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．‎ ‎（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；‎ ‎（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk；‎ ‎（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．‎ 题型三 ‎3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2‎ ‎（1）求a3，a5；‎ ‎（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；‎ ‎（3）设cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．‎ 题型四 ‎4．已知数列{an}满足，，n∈N×．‎ ‎（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，‎ ‎（Ⅰ）求a1，a4‎ ‎（Ⅱ）证明：{an+1﹣2an}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求{an}的通项公式．‎ ‎6．在数列{an}中，a1=1，．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列{bn}的前n项和Sn；‎ ‎（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Tn．‎ ‎7．已知数列{an}的首项，，n=1，2，3，…．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ ‎8.在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为。‎ ‎(Ⅰ)若=2k，证明成等比数列（）；‎ ‎(Ⅱ)若对任意，成等比数列，其公比为.‎ 设1.证明是等差数列；‎ ‎9.设数列的前项和为 已知 ‎（I）设，证明数列是等比数列 ‎ ‎（II）求数列的通项公式。‎ ‎10. 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 ‎11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．‎ ‎（I） 求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（II） 数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．‎ 题型五 ‎12.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求 ‎ （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）的值.‎ ‎13．已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 提醒六 ‎14．设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．‎ ‎（Ⅰ）若，求b3；‎ ‎（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{bm}的前2m项和公式；‎ ‎15．已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ ‎16．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn．‎ ‎17．已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎18．在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n≥1．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=tanan•tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 题型七 ‎19．已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）求数列{}的前n项和．‎ ‎20．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．‎ ‎（1）求r的值；‎ ‎（2）当b=2时，记bn=n∈N*求数列{bn}的前n项和Tn．‎ 题型八 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：，，的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．‎ 题型九 ‎22．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；‎ ‎（Ⅱ）记An=+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．‎ ‎23.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0．‎ ‎（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；‎ ‎（Ⅱ）求d的取值范围．‎ 答案 ‎1．（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ 分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ 解答：解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列 ‎∴设其公比为q，q＞0‎ ‎∵a3=a2+4，a1=2‎ ‎∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1‎ ‎∵q＞0‎ ‎∴q=2 ‎ ‎∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n ‎（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 ‎∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1‎ ‎∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2‎ ‎2．已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．‎ ‎（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；‎ ‎（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk；‎ ‎（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．‎ 专题：计算题；分类讨论。‎ 分析：（1）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式，即可求出结论；‎ ‎（2）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；‎ ‎（3）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式，最后综合即可．‎ 解答：解：（1）∵an+1﹣an=3，‎ ‎∴bn+1﹣bn=n+2，‎ ‎∵b1=1，‎ ‎∴b2=4，b3=8．‎ ‎（2）∵．‎ ‎∴an+1﹣an=2n﹣7，‎ ‎∴bn+1﹣bn=，‎ 由bn+1﹣bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；‎ 由bn+1﹣bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．‎ ‎∴k=4．‎ ‎（3）∵an+1﹣an=（﹣1）n+1，‎ ‎∴bn+1﹣bn=（﹣1）n+1（2n+n）．‎ ‎∴bn﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．‎ 故b2﹣b1=21+1；‎ b3﹣b2=（﹣1）（22+2），‎ ‎…‎ bn﹣1﹣bn﹣2=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．‎ bn﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．‎ 当n=2k时，以上各式相加得 bn﹣b1=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]‎ ‎=+=+．‎ ‎∴bn==++．‎ 当n=2k﹣1时，‎ ‎=++﹣（2n+n）‎ ‎=﹣﹣+‎ ‎∴bn=．‎ ‎3．（2010•四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2‎ ‎（1）求a3，a5；‎ ‎（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；‎ ‎（3）设cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．‎ 分析：（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．‎ ‎（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到bn+1﹣bn，和等差数列的定义即可证明．‎ ‎（3）由（1）（2）两问的结果可以求得cn，利用乘公比错位相减求{cn}的前n项和Sn．‎ 解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6‎ 再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20‎ ‎（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得 a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8‎ 于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8‎ 即bn+1﹣bn=8‎ 所以{bn}是公差为8的等差数列 ‎（3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列 则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2‎ 另由已知（令m=1）可得 an=﹣（n﹣1）2．‎ 那么an+1﹣an=﹣2n+1‎ ‎=﹣2n+1=2n 于是cn=2nqn﹣1．‎ 当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）‎ 当q≠1时，Sn=2•q0+4•q1+6•q2++2n•qn﹣1．‎ 两边同乘以q，可得 qSn=2•q1+4•q2+6•q3++2n•qn．‎ 上述两式相减得 ‎（1﹣q）Sn=2（1+q+q2++qn﹣1）﹣2nqn ‎=2•﹣2nqn ‎=2•‎ 所以Sn=2•‎ 综上所述，Sn=‎ ‎4．（2009•陕西）已知数列{an}满足，，n∈N×．‎ ‎（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ 分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，为公比的等比数列得证；‎ ‎（2）由（1）找出bn的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．‎ 解答：解：（1）证b1=a2﹣a1=1，‎ 当n≥2时，‎ 所以{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）解由（1）知，‎ 当n≥2时，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+‎ ‎===，‎ 当n=1时，．‎ 所以．‎ ‎5．（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，‎ ‎（Ⅰ）求a1，a4‎ ‎（Ⅱ）证明：{an+1﹣2an}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求{an}的通项公式．‎ 考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出an，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；‎ ‎（Ⅱ）由已知得an+1﹣2an=（Sn+2n+1）﹣（Sn+2n）=2n+1﹣2n=2n即为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）an=（an﹣2an﹣1）+2（an﹣1﹣2an﹣2）++2n﹣2（a2﹣2a1）+2n﹣1a1=（n+1）•2n﹣1即可．‎ 解答：解：（Ⅰ）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2‎ 由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1‎ 得an+1=sn+2n+1①‎ 所以a2=S1+22=2+22=6，S2=8a3=S2+23=8+23=16，S2=24a4=S3+24=40‎ ‎（Ⅱ）由题设和①式知an+1﹣2an=（Sn+2n+1）﹣（Sn+2n）=2n+1﹣2n=2n 所以{an+1﹣2an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎（Ⅲ）an=（an﹣2an﹣1）+2（an﹣1﹣2an﹣2）++2n﹣2（a2﹣2a1）+2n﹣1a1=（n+1）•2n﹣1‎ 点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．‎ ‎6．（2009•四川）在数列{an}中，a1=1，．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列{bn}的前n项和Sn；‎ ‎（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Tn．‎ 考点：数列递推式；数列的求和。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（Ⅰ）由题设条件得，由此可知．‎ ‎（Ⅱ）由题设条件知，，再由错位相减得，由此可知．‎ ‎7．（2008•陕西）已知数列{an}的首项，，n=1，2，3，…．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ 考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）化简构造新的数列 ，进而证明数列是等比数列．‎ ‎（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出an，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和Sn．‎ 解答：解：（Ⅰ）由已知：，‎ ‎∴，（2分）‎ ‎∴，‎ 又，∴，（4分）‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 即，∴．（8分）‎ 设，①‎ 则，②‎ 由①﹣②得：，（10分）‎ ‎∴．又1+2+3+．（12分）‎ ‎∴数列的前n项和：．（14分）‎ 点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．‎ ‎（Ⅲ）由得．由此可知Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=．‎ 解答：解：（Ⅰ）由条件得，又n=1时，，‎ 故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．‎ ‎（Ⅱ）由得，，‎ 两式相减得：，所以．‎ ‎（Ⅲ）由得．‎ 所以Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=．‎ 点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎8. (2010、天津)（本小题满分14分）‎ 在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为。‎ ‎(Ⅰ)若=2k，证明成等比数列（）；‎ ‎(Ⅱ)若对任意，成等比数列，其公比为.‎ 设1.证明是等差数列；‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：由题设，可得。‎ 所以 ‎=‎ ‎=2k(k+1)‎ 由=0，得 于是。‎ 所以成等比数列。‎ ‎（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。‎ ‎9. （2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为 已知 ‎（I）设，证明数列是等比数列 ‎ ‎（II）求数列的通项公式。‎ 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．②‎ ‎②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列．‎ ‎（II）由（I）可得，‎ 数列是首项为，公差为的等比数列．‎ ‎， ‎ ‎ 10分 ‎10.（2008四川卷）． 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 解 由题意知，且 两式相减得 即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 ‎ ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 ‎11．（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．‎ ‎（I） 求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（II） 数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．‎ 分析：（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5﹣d，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式 ‎（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求Sn，要证数列{Sn+}是等比数列⇔即可．‎ 解答：解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d 依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5‎ 所以{bn}中的依次为7﹣d，10，18+d 依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）‎ 故{bn}的第3项为5，公比为2‎ 由b3=b1•22，即5=4b1，解得 所以{bn}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为 ‎（II）数列{bn}的前和 即，所以，‎ 因此{}是以为首项，公比为2的等比数列 点评：本题主要考查了等差数列、等比数列及前n和公式等基础知识，同时考查基本运算能力 ‎12.（2005北京）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求 ‎ （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）的值.‎ 解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得 ‎，，，‎ 由（n≥2），得（n≥2），‎ 又a2=，所以an=(n≥2),‎ ‎∴ 数列{an}的通项公式为 ‎13．（2009•湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得an．‎ ‎（2）令cn=，则有an=c1+c2+…+cn，an+1=c1+c2+…+cn+1两式相减得cn+1等于常数2，进而可得bn，进而根据b1=2a1求得b1则数列{bn}通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1．‎ 解答：解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 则依题意可知d＞0由a2+a7=16，‎ 得2a1+7d=16①‎ 由a2a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②‎ 由①②联立方程求得 得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）‎ ‎∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1‎ ‎（2）令cn=，则有an=c1+c2+…+cn an+1=c1+c2+…+cn+1‎ 两式相减得 an+1﹣an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1﹣an=2‎ ‎∴cn+1=2，即cn=2（n≥2），‎ 即当n≥2时，‎ bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2‎ ‎∴bn=‎ 于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6‎ 点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质．考查了对数列问题的综合把握．‎ ‎14．（2009•北京）设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．‎ ‎（Ⅰ）若，求b3；‎ ‎（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{bm}的前2m项和公式；‎ 解答：解：（Ⅰ）由题意，得，‎ 解，得．‎ ‎∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．‎ ‎（Ⅱ）由题意，得an=2n﹣1，‎ 对于正整数m，由an≥m，得．‎ 根据bm的定义可知 当m=2k﹣1时，bm=k（k∈N*）；‎ 当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．‎ ‎∴b1+b2++b2m=（b1+b3++b2m﹣1）+（b2+b4++b2m）=（1+2+3++m）+[2+3+4++（m+1）]=．‎ ‎15．（2008•浙江）已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ 分析：（Ⅰ）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．‎ ‎（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．‎ 解答：解：（Ⅰ）∵x1=3，‎ ‎∴2p+q=3，①‎ 又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x3=2x4，‎ ‎∴3+25p+5q=25p+8q，②‎ 联立①②求得 p=1，q=1‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n ‎∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）‎ ‎=‎ 点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．‎ ‎16．（2010•陕西）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn．‎ 分析：（I）由题意可得a32=a1•a9=a9，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出通项an ‎（II）由（I）可得，代入等比数列的前n项和公式可求Sn 解答：解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，‎ 由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得=，‎ 解得d=1，d=0（舍去），故{an}的通项an=1+（n﹣1）×1=n；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知{2}^{{a}_{n}}={2}^{n}，由等比数列前n项和公式得 Sm=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2．‎ 点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于基本公式的简单运用．‎ ‎17．（2010•四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 分析：（1）设{an}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得an．‎ ‎（2）根据（1）中的an，求得bn，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n项和Sn．‎ 解答：解：（1）设{an}的公差为d，‎ 由已知得 解得a1=3，d=﹣1‎ 故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；‎ ‎（2）由（1）的解答得，bn=n•qn﹣1，于是 Sn=1•q0+2•q1+3•q2+…+（n﹣1）•qn﹣1+n•qn．‎ 若q≠1，将上式两边同乘以q，得 qSn=1•q1+2•q2+3•q3+…+（n﹣1）•qn+n•qn+1．‎ 将上面两式相减得到 ‎（q﹣1）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn﹣1）‎ ‎=nqn﹣‎ 于是Sn=‎ 若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=‎ 所以，Sn=．‎ ‎18．（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n≥1．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=tanan•tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 分析：（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{bn}的每一项拆成的形式，进而得到结论．‎ 解答：解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，‎ 又∵这n+2个数的乘积计作Tn，‎ ‎∴Tn=10n+2‎ 又∵an=lgTn，‎ ‎∴an=lg10n+2=n+2，n≥1．‎ ‎（II）∵bn=tanan•tanan+1=tan（n+2）•tan（n+3）=，‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=[]+[]+…+[]‎ ‎=‎ 点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．‎ ‎19．（2011•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）求数列{}的前n项和．‎ 分析：（I）‎ 根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；‎ ‎（II）‎ 把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用an的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．‎ 解答：解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，‎ 解得：，‎ 故数列{an}的通项公式为an=2﹣n；‎ ‎（II）设数列{}的前n项和为Sn，即Sn=a1++…+①，故S1=1，‎ ‎=++…+②，‎ 当n＞1时，①﹣②得：‎ ‎=a1++…+﹣‎ ‎=1﹣（++…+）﹣‎ ‎=1﹣（1﹣）﹣=，‎ 所以Sn=，‎ 综上，数列{}的前n项和Sn=．是一道中档题．‎ ‎20.(2009山东)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. ‎ ‎（1）求r的值； ‎ ‎（11）当b=2时，记 求数列的前项和 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,‎ 当时,, ‎ 当时,,‎ 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 ‎（2）当b=2时，, ‎ 则 ‎ ‎ 相减,得 所以 ‎21．（2010、山东）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：，，的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ‎，解得，‎ 所以；==。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，‎ 所以==，‎ 即数列的前n项和=。‎ ‎22．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；‎ ‎（Ⅱ）记An=+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．‎ 分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a＞0和a＜0两种情况分情况进行比较．‎ 解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由（）2=•，‎ 得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a 所以an=na，Sn=‎ ‎（Ⅱ）解：∵=（﹣）‎ ‎∴An=+++…+=（1﹣）‎ ‎∵=2n﹣1a，所以==，‎ Bn=++…+=•=•（1﹣）‎ 当n≥2时，2n=Cn0+Cn1+…+Cnn＞n+1，即1﹣＜1﹣‎ 所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn．‎ ‎23．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0．‎ ‎（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；‎ ‎（Ⅱ）求d的取值范围．‎ 解答：解：（Ⅰ）由题意知S6==﹣3，‎ a6=S6﹣S5=﹣8‎ 所以 解得a1=7‎ 所以S6=﹣3，a1=7；‎ 解：（Ⅱ）因为S5S6+15=0，‎ 所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，‎ 即2a12+9da1+10d2+1=0．‎ 故（4a1+9d）2=d2﹣8．‎ 所以d2≥8．‎ 故d的取值范围为d≤﹣2或d≥2．‎