高考数学基础知识点总结高分必备

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高考数学基础知识点总结高分必备

‎2012年高考数学基础知识总结 ‎ 盛情 ‎2012-04-05‎ ‎2012年高考数学基础知识总结 ‎ 盛情 ‎2012-04-05‎ ‎2012年高考数学基础知识总结 ‎ 盛情 ‎2012-04-05‎ ‎2012年高考数学基础知识总结 ‎ 盛情 ‎2012-04-05‎ ‎2012年高考数学基础知识总结 ‎ 盛情 ‎2012-04-05‎ 一、集合与常用逻辑 ‎1.集合概念 元素:互异性、无序性 ‎2.集合运算 全集U:如U=R ‎ 交集: ‎ 并集:‎ 补集: ‎ ‎3.集合关系 空集 子集:任意 注:数形结合---文氏图、数轴 ‎4.四种命题 原命题:若p则q 逆命题:若q则p 否命题:若则 逆否命题:若则 原命题逆否命题 否命题逆命题 ‎5.充分必要条件 p是q的充分条件:‎ p是q的必要条件:‎ p是q的充要条件:p⇔q ‎6.复合命题的真值 ‎ ‎①q真(假)⇔“”假(真)‎ ‎②p、q同真⇔“p∧q”真 ‎ ‎③p、q都假⇔“p∨q”假 ‎ ‎7.全称命题、存在性命题的否定 "ÎM, p(x)否定为: $ÎM, ‎ $ÎM, p(x)否定为: "ÎM, ‎ 二、函数概念与性质 ‎1.奇偶性 f(x)偶函数f(x)图象关于轴对称  ‎ f(x)奇函数f(x)图象关于原点对称 注:①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称 ‎②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0‎ ‎③“奇+奇=奇”(公共定义域内)‎ ‎2.单调性 f(x)增函数:x1<x2f(x1)<f(x2)‎ 或x1>x2f(x1) >f(x2)‎ 或 f(x)减函数:?‎ 注:①判断单调性必须考虑定义域 ‎②f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法“增+增=增” ‎ ‎③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 ‎3.周期性 是周期恒成立(常数)‎ ‎4.二次函数 解析式: f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+k ‎ f(x)=a(x-x1)(x-x2)‎ 对称轴: 顶点:‎ 单调性:a>0,递减,递增 当,f(x)min 奇偶性:f(x)=ax2+bx+c是偶函数b=0‎ 闭区间上最值:‎ 配方法、图象法、讨论法---‎ 注意对称轴与区间的位置关系 注:一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0‎ 三、基本初等函数 ‎1.指数式 ‎ ‎2.对数式 (a>0,a≠1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 注:性质 ‎ 常用对数,‎ 自然对数,‎ ‎3.指数与对数函数 y=ax与y=logax ‎ ‎ 定义域、值域、过定点、单调性?‎ 注:y=ax与y=logax图象关于y=x对称(互为反函数)‎ ‎4.幂函数 ‎ 在第一象限图象如下:‎ 四、函数图像与方程 ‎1.描点法 ‎ 函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调)‎ 取特殊点如零点、最值点等 ‎ ‎2.图象变换 平移:“左加右减,上正下负”‎ 伸缩:‎ 对称:“对称谁,谁不变,对称原点都要变”‎ 注:‎ 翻折:保留轴上方部分,‎ 并将下方部分沿轴翻折到上方 ‎ ‎ 保留轴右边部分,‎ 并将右边部分沿轴翻折到左边 ‎ ‎ ‎3.零点定理 若,则在内有零点 ‎(条件:在上图象连续不间断)‎ 注:①零点:的实根 ‎②在上连续的单调函数,‎ 则在上有且仅有一个零点 ‎③二分法判断函数零点---? ‎ 五、导数及其应用 ‎1.导数几何意义 在点x处导数:指点x处切线斜率 ‎2.导数公式 ‎(C为常数) ‎ ‎     ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎= =. ‎ ‎3.导数应用 单调性:如果,则为增函数 如果,则为减函数 极大值点:在x附近“左增右减↗↘”‎ 极小值点:在x附近“左减右增↘↗”‎ 注 求极值:定义域→→零点→列表:‎ 范围、符号、增减、极值 求[a,b]上最值:‎ 在(a,b)内极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较 ‎4.三次函数 ‎ ‎ 图象特征:“↗↘↗” “↘↗↘”‎ ‎ ‎ 极值情况:有极值 无极值 ‎5.定积分 定理:其中 性质:(k为常数)‎ 应用:‎ ② 直线x=a,x=b,x轴及曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成曲边梯形面积 ‎②如图,曲线y1=f1(x),y2=f2(x)在[a,b]上围成图形的面积S=S曲边梯形AMNB-S曲边梯形DMNC=‎ 六、三角函数 ‎1.概念 第二象限角()‎ ‎2.弧长 扇形面积 ‎ ‎3.定义 ‎ 其中是终边上一点,‎ ‎4.符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” ‎ ‎5.诱导公式:“奇变偶不变,符号看象限”‎ 如,‎ ‎6.特殊角的三角函数值 ‎ ‎0‎ sin ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ cos ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ tg ‎0‎ ‎1‎ ‎/‎ ‎0‎ ‎/‎ ‎7.基本公式 同角 ‎ 和差 倍角 ‎ ‎ ‎ 降幂cos2α= sin2α=‎ 叠加 ‎ ‎ ‎ ‎8.三角函数的图象性质 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 单调性: 增 减 增 sinx cosx tanx 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 周期 ‎2π ‎2π π 对称轴 无 中心 注:‎ ‎9.解三角形 ‎ 基本关系:sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC ‎ tan(A+B)=-tanC ‎ 正弦定理:==‎ ‎ ‎ 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA(求边) ‎ ‎ cosA=(求角)‎ 面积公式:S△=absinC 注:中,A+B+C=? ‎ a2>b2+c2 ⇔ ∠A>‎ 七、数 列 ‎1、等差数列 定义: ‎ 通项:‎ 求和: ‎ 中项:(成等差)‎ 性质:若,则 ‎2、等比数列 定义: ‎ 通项:‎ 求和: ‎ 中项:(成等比)‎ 性质:若 则 ‎3、数列通项与前项和的关系 ‎4、数列求和常用方法 公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法 八、不等式 ‎1.一元二次不等式解法 ‎ 若,有两实根,则 解集 解集 注:若,转化为情况 ‎2.其它不等式解法—转化 或 ‎ ‎ ‎()‎ ‎()‎ ‎3.基本不等式 ‎ ‎① ‎ ‎②若,则 注:用均值不等式、‎ 求最值条件是“一正二定三相等”‎ ‎4.平面区域与线性规划 不等式表示的平面区域判断:‎ ‎①在直线一侧取一个特殊点 (通常是原点)‎ ‎②由的正负,判断表示直线哪一侧的平面区域 注:直线同侧所有点的坐标代入,得到实数的符号都相同 线性规划问题的一般步骤:‎ ‎①设所求未知数;②列约束条件(不等式组);‎ ② 立目标函数;④作可行域;⑤求最优解 例:设满足 求最值 当过时,最大,‎ 当过时,最小 ‎ 九、复数与推理证明 ‎1.复数概念 复数:(a,b,实部a、虚部b ‎ 分类:实数(),虚数(),复数集C 注:是纯虚数,‎ 相等:实、虚部分别相等 共轭: ‎ 模: ‎ 复平面:复数z对应的点 ‎2.复数运算 加减:(a+bi)±(c+di)=?‎ 乘法:(a+bi)(c+di)=?‎ 除法: ===…‎ 乘方:,‎ ‎3.合情推理 类比:特殊推出特殊 ‎ 归纳:特殊推出一般 ‎ 演绎:一般导出特殊(大前题→小前题→结论)‎ ‎4.直接与间接证明 综合法:由因导果 比较法:作差—变形—判断—结论 反证法:反设—推理—矛盾—结论 分析法:执果索因 分析法书写格式:‎ 要证A为真,只要证B为真,即证……,‎ 这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真 注:常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程 ‎5.数学归纳法:‎ ‎(1)验证当n=1时命题成立,‎ ‎(2)假设当n=k(kÎN* ,k³1)时命题成立,‎ ‎ 证明当n=k+1时命题也成立 由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立 注:用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用 十、算法初步 一.程序框图 程序框 名称 功能 起止框 起始和结束 ‎ 输入、输出框 输入和输出的信息 处理框 赋值、计算 判断框 判断某一条件是否成立 循环框 重复操作以及运算 二.基本算法语句及格式 ‎1输入语句:INPUT “提示内容”;变量 ‎2输出语句:PRINT“提示内容”;表达式 ‎3赋值语句:变量=表达式 ‎4条件语句 ‎“IF—THEN—ELSE”语句 “IF—THEN”语句 IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE END IF 语句2‎ END IF ‎5循环语句 当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”‎ 三.算法案例 ‎1、求两个数的最大公约数 辗转相除法:到达余数为0‎ 更相减损术:到达减数和差相等 ‎2、多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值 秦九韶算法: v1=anx+an-1 v2=v1x+an-2‎ ‎ v3=v2x+an-3 vn=vn-1x+a0‎ 注:递推公式v0=an vk=vk-1X+an-k(k=1,2,…n)‎ 求f(x)值,乘法、加法均最多n次 ‎3、进位制间的转换 k进制数转换为十进制数:‎ 十进制数转换成k进制数:“除k取余法”‎ 例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3 ‎ 例2已知f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求f(5) ‎ ‎123=2×48+27 v0=2‎ ‎  48=1×27+21 v1=2×5-5=5‎ ‎   27=1×21+6 v2=5×5-4=21‎ ‎  21=3×6+3 v3=21×5+3=108‎ ‎6=2×3+0 v4=108×5-6=534‎ v5=534×5+7=2677‎ 十一、平面向量 ‎1.向量加减 三角形法则,平行四边形法则 首尾相接,=共始点 中点公式:是中点 2. 向量数量积 ==‎ 注:①夹角:00≤θ≤1800‎ ‎②同向: ‎ ‎3.基本定理 (不共线--基底)‎ 平行:()‎ 垂直:‎ 模:= ‎ 夹角:‎ 注:①∥ ②(结合律)不成立 ‎③(消去律)不成立 十二、立体几何 ‎1.三视图 正视图、侧视图、俯视图 ‎2.直观图:斜二测画法=450‎ 平行X轴的线段,保平行和长度 平行Y轴的线段,保平行,长度变原来一半 ‎3.体积与侧面积 V柱=S底h V锥 =S底h V球=πR3 ‎ S圆锥侧= S圆台侧= S球表=‎ ‎4.公理与推论 确定一个平面的条件:‎ ‎①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ‎③两相交直线 ④两平行直线 公理:平行于同一条直线的两条直线平行 定理:如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。‎ ‎5.两直线位置关系 相交、平行、异面 异面直线——不同在任何一个平面内 ‎6.直线和平面位置关系 ‎ ‎ ‎7.平行的判定与性质 线面平行:‎ ‎∥,∥‎ ‎∥,∥‎ 面面平行:‎ ‎∥,∥平面∥‎ ‎∥,∥‎ ‎8.垂直的判定与性质 线面垂直: ‎ 面面垂直:‎ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;‎ 若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 三垂线定理:‎ ‎ ‎ 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直逆定理? ‎ ‎9.空间角、距离的计算 异面直线所成的角 范围(0°,90°] ‎ 平移法:转化到一个三角形中,用余弦定理 直线和平面所成的角 范围[0°,90°]‎ 定义法:找直线在平面内射影,转为解三角形 二面角 范围[0°,180°]‎ 定义法:作出二面角的平面角,转为解三角形 点到平面的距离 体积法--用三棱锥体积公式 注:计算过程,“一作二证三求”,都要写出 ‎10.立体几何中的向量解法 法向量求法:设平面ABC的法向量=(x,y)‎ 解方程组,得一个法向量 线线角:设是异面直线的方向向量,‎ 所成的角为,则 即所成的角等于或 线面角:‎ 设是平面的法向量,是平面的 一条斜线,与平面所成的角为,‎ 则 二面角:设是面的法向量,二面角 的大小为,则或 即二面角大小等于或 点到面距离:‎ 若是平面的法向量,是平面的一条斜线段,且,‎ 则点到平面的距离 十三、直线与圆 ‎1、倾斜角 范围 斜率 ‎ 注:直线向上方向与轴正方向所成的最小正角 倾斜角为时,斜率不存在 ‎2、直线方程 点斜式,斜截式 ‎ 两点式, 截距式 ‎ 一般式 注意适用范围:①不含直线 ‎②不含垂直轴的直线 ‎③不含垂直坐标轴和过原点的直线 ‎3、位置关系(注意条件) ‎ 平行 且 垂直 垂直 ‎4、距离公式 两点间距离:|AB|=‎ 点到直线距离:‎ ‎5、圆标准方程: 圆心,半径 圆一般方程:(条件是?)‎ 圆心 半径 ‎6、直线与圆位置关系 位置关系 相切 相交 相离 几何特征 代数特征 注:点与圆位置关系 点在圆外 ‎7、直线截圆所得弦长 ‎ ‎ 十四、圆锥曲线 一、定义 椭圆: |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)‎ 双曲线:|PF1|-|PF2|=±2a(0<‎2a<|F‎1F2|)‎ 抛物线:与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质(如焦点在x轴)‎ 椭圆( a>b>0)‎ 双曲线(a>0,b>0) ‎ 中心原点 对称轴? 焦点F1(c,0)、F2(-c,0)‎ 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b),双曲线(±a,0)‎ 范围: 椭圆-a£x£a,-b£y£b 双曲线|x| ³ a,yÎR 焦距:椭圆2c(c=)‎ 双曲线2c(c=)‎ ‎2a、2b:椭圆长轴、短轴长,‎ 双曲线实轴、虚轴长 离心率:e=c/a 椭圆01‎ 注:双曲线渐近线 方程表示椭圆 方程表示双曲线 抛物线y2=2px(p>0) ‎ 顶点(原点) 对称轴(x轴)‎ 开口(向右) 范围x³0 离心率e=1‎ 焦点 准线 十五、计数原理 1. 计数原理 加法分类,乘法分步 ‎2.排列组合 差异---排列有序而组合无序 公式==‎ ‎ ==‎ ‎ 关系:‎ 性质:= ‎ ‎3.排列组合应用题 原则:分类后分步,先选后排,先特殊后一般 解法:相邻问题“捆绑法”,不相邻“插空法”‎ 复杂问题“排除法”‎ ‎4.二项式定理 特例 通项 注---第项二项式系数 性质:所有二项式系数和为 中间项二项式系数最大 赋值法:取等代入二项式 十六、概率与统计 ‎1.古典概型:()‎ 求基本事件个数:列举法、图表法 ‎2.几何概型:‎ 注:试验出现的结果无限个 ‎3.加法公式:若事件和互斥,则 ‎ ‎ 互斥事件:不可能同时发生的事件 对立事件:不同时发生,但必有一个发生的事件 ‎4.常用抽样(不放回)‎ 简单随机抽样:逐个抽取(个数少)‎ 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多)‎ 分层抽样:总体分成几层,各层按比例抽取(总体差异明显)‎ ‎5.用样本估计总体 ‎ 众数:出现次数最多的数据 中位数:按从小到大,处在中间的一个数据(或中间两个数的平均数)‎ 平均数:‎ 方差标准差 ‎6.频率分布直方图 小长方形面积=组距×=频率 各小长方形面积之和为1‎ 众数—最高矩形中点的横坐标 中位数—垂直于轴且平分直方图面积的直线与轴交点的横坐标 茎叶图:由茎叶图可得到所有的数据信息如 众数、中位数、平均数等 十七、随机变量的概率分布 ‎1.条件概率 A发生条件下B发生:或 ‎2.独立事件的概率 A、B同时发生:‎ 一般:‎ 若A与B独立,则与、与也相互独立 ‎3.独立重复试验的概率 一次试验中事件A发生的概率是,次独立 重复这试验,事件A恰好发生次:‎ ‎4.离散型随机变量的概率分布:‎ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn 性质 ‎5. 离散型随机变量的期望与方差 定义:‎ ‎(平均值)‎ 性质:‎ ‎ ‎ ‎6.常用分布 两点分布: ‎ 二项分布: ‎ 超几何分布:‎ ‎ ?‎ ‎7.正态分布密度函数 性质:曲线在轴上方、关于对称,曲线与轴围成面积为1‎ 变量在区间内取值的概率等于 密度曲线与轴、直线、‎ 所围成曲边梯形的面积 图中阴影部分面积 表示概率 ‎8.标准正态分布:‎ 可查表 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 正态分布: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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