2007宁夏高考数学理科试卷及答案1
2007-2012年宁夏高考理科数学试卷及答案
2007年（宁夏卷）数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题，sinx≤1，则（ ）
A．，sinx≥1
B．，sinx≥1
C．，sinx>1
D．，sinx>1
2．已知平面向量a=（1，1），b（1，－1），则向量（ ）
A．（－2，－1）B．（－2，1）C．（－1，0）D．（－1，2）
3．函数在区间的简图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）
A．2450
B．2500
C．2550
D．2652
6．已知抛物线的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3， 则有（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A．B．C．2000cm3D．4000cm3
9．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B．4e2 C．2e2 D．e2
11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A．s 3>s 1>s 2B．s 2>s 1>s3C．s 1>s 2>s3D．s 2>s3>s1
12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 。
14．设函数为奇函数，则a= 。
15．i是虚数单位， 。（用a+bi的形式表示，）
16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB。
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，，O为BC中点。
（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A—SC—B的余弦值。
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q。
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。
20．（本小题满分12分）
如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。
（Ⅰ）求X的均值EX；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。
附表：
K
2424
2425
2574
2575
P（k）
0.0403
0.0423
0.9570
0.9590
21．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）若当x=－1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于。
22．请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
A（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP是⊙
O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点。
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求的大小。
B（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为。
（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程。
C（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲设函数。
（Ⅰ）解不等式f（x）>2；
（Ⅱ）求函数y= f（x）的最小值。
参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C
7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．240
三、解答题
17．解：在中，
由正弦定理得
所以
在中，
18．证明：
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故， 且，从而
所以为直角三角形，
又．
所以平面
（Ⅱ）
解法一：
取中点，连结，由（Ⅰ）知，得
为二面角的平面角．
由得平面
所以，又，
故
所以二面角的余弦值为
解法二：
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
设，则
的中点，
故等于二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为
19．解：
（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为
，
代入椭圆方程得
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于
，
解得或．即的取值范围为
（Ⅱ）设，则，
由方程①， ②
又 ③
而
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数
20．解：
每个点落入中的概率均为
依题意知
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意所求概率为，
=0.9570-0.0423
=0.9147
21．解：
（Ⅰ），
依题意有，故
从而
的定义域为，当时，；
当时，；
当时，
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少
（Ⅱ）的定义域为，
方程的判别式
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值
（ⅱ）若，则或
若，，
当时，，当时，，所以无极值
若，，，也无极值
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为
的极值之和为
22．
A解：
（Ⅰ）证明：连结
因为与⊙相切于点，所以
因为是⊙的弦的中点，所以
于是，由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得
由圆心在的内部，可知
所以
B解：
解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。
（Ⅰ），，由得
所以
即为⊙的直角坐标方程。
同理为⊙的直角坐标方程。
（Ⅱ）由
解得
即⊙，⊙交于点和过交点的直线的直角坐标方程为
C解：
（Ⅰ）令，则
．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和
所以的解集为
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值
2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）
数 学（理）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图象如下：
那么ω=（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
2.已知复数z=1-i，则等于（ ）
A. 2 i B. －2i C. 2 D. －2
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值
为（ ）
A. B. C. D.
4.设等比数列的公比，前n项和为，则
等于（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
5.右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c
第5题图
6.已知，则使得都成立的取值范围是（ ）
A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
7. 等于（ ）
A. B. C. 2 D.
8.平面向量a，b共线的充要条件是（ ）
A. a，b方向相同 B. a，b两向量中至少有一个为零向量
C. λ∈R，b=λa D. 存在不全为零的实数，，λ1 a+λ2 b=0
9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（ ）
A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种
10.由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D.
（1，－2）
12.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a=(0,-1,1)，b=(4,1,0)，|λa+b| =且，则= ____________.
14.设双曲线的右顶点为A，右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的
直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________.
15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________.
16.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图：
3 1 27
7 5 5 0 28 4
5 4 2 29 2 5
8 7 3 3 1 30 4 6 7
9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8
8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9
7 4 1 33 1 3 6 7
34 3
2 35 6
甲
乙
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①___________________________________________________________________________；
②___________________________________________________________________________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（12分）已知数列是一个等差数列，且，.
（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值.
18.（12分）如图,已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°.
（1）求DP与CC′所成角的大小；（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
19．（12分）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
X2
2%
8%
12%
P
0.8
0.2
P
0.2
0.5
0.3
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目
A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和,求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.（注：D(aX + b) = a2DX）
20．（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且.
（1）求C1的方程；
（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程.
21.（12分）设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，
过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，
且交圆O于B点.过B点的切线
交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.
23.（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线C1：，曲线C2：.
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出
，的参数方程.与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说
明你的理由.
24.（10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（1）作出函数的图象；
（2）解不等式.
参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C 8.D 9.A 10.D 11.A 12.C
二、填空题
13.3 14. 15.
16. ①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.
②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.
③甲品种棉花的纤维长度的中位效为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm.
④乙品种棉花的纤堆长度基本上是对称的．而且大多集中在中间（ 均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352
）外．也大致对称．其分布较均匀．
三、解答题
17.解：（1）设的公差为，由已知条件，，解出，
所以.
(2）
所以时，取到最大值4.
18.解：如图，以为原点，为单位长度建立空间直角坐标系.
则
A
B
C
D
P
x
y
z
H
连结BD,B′D′.
在平面BB′D′D中，延长交B′D′于.
设,
由已知<>=60°,
由
可得.
解得，所以.
（1）因为，
所以．
即与所成的角为．
（2）平面的一个法向量是．
因为，
所以．
可得与平面所成的角为．
19．解：（1）由题设可知和的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
，
，
，
．
（2）
，
当时，为最小值．
20．解：（1）由：知．
设，在上，因为，所以，
得，．所以
在上，且椭圆的半焦距，于是
消去并整理得
，
解得（不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为．
（2）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，
因为，所以与的斜率相同，
故的斜率．
设的方程为．
由消去并化简得
．
设，，
，．
因为，所以．
+6m2
．
所以．
此时，
故所求直线的方程为，或．
21．解：（1），
于是解得或
因，故．
（2）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而．
可知，函数的图象按向量平移，即得到函数的图象，故函数的图象是以点为中心的中心对称图形．
（3）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令得，切线与直线交点为．
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值．
22．（1）证明：因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，
（2）证明：因为是圆的切线，．
同（1），有，又，
所以，即．
又，
所以，故．
23．解：（1）是圆，是直线．
的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以与只有一个公共点．
（2）压缩后的参数方程分别为
：（为参数）； ：（t为参数）．
化为普通方程为：：，：，
联立消元得，
其判别式，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
24．解：（1）
图象如下：
1
1
O
x
y
2
3
4
2
4
-1
-2
-2
8
-4
（2）不等式，即，
由得．
由函数图象可知，原不等式的解集为．
2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）
数学（理工农医类）
选择题（每小题5分，共60分）
（1）已知集合M={x|－3
0,V=S－T
(B) A<0,V=S－T
(C) A>0, V=S+T
（D）A<0, V=S+T
（11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
A
B
C
D
E
F
H
（12）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝
（A） (B)3 (C) (D)4
（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.
（14）等差数列的前项和为，且则
（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为
（16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
（17）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）
（18）（本小题满分12分）
如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。
（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。
（19）（本小题满分12分）
某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）
（20）（本小题满分12分）
已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
求椭圆C的方程；
E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲
已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。
求证：AD的延长线平分CDE；
若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数。
（
1）若解不等式；
（2）如果,,求 的取值范围。
参考答案
选择题（每小题5分，共60分）
(1) 【答案】B 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.
(2) 【答案】D 【解析】＝
(3) 【答案】B 【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴
(4) 【答案】B 【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.
(5) 【答案】A 【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种；间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.
(6) 【答案】B 【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2，于是
(7) 【答案】D 【解析】y’＝,当x＝1时切线斜率为k＝－2
(8) 【答案】B 【解析】由图象可得最小正周期为， 于是f(0)＝f(),注意到与关于对称，所以f()＝－f()＝
(9) 【答案】A 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)； ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性；得|2x－1|＜ 解得＜x＜
(10) 【答案】C
【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0
支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T
(11) 【答案】C 【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积
在底面正六边形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC
(12) 【答案】C 【解析】由题意 ① ②所以, 即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2；于是2x1＝7－2x2)
(13) 【答案】1013 【解析】＝1013
(14) 【答案】 【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d
∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4
(15) 【答案】4 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,
体积等于×2×4×3＝4
(16) 【答案】9
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4
而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
(17)解:
在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分
在△ABC中，
即AB=
因此，BD=
故B，D的距离约为0.33km。
(18) （18）（I）解法一：
取CD的中点G，连接MG，NG。
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCED，
所以MG⊥平面DCEF，
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分
解法二：
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2).
又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，
可得
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
cos· ……6分
(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分
则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。
又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB//EN。
又AB//CD//EF，
所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分
(19) （19）解：
（Ⅰ）依题意X的分列为
0
1
2
3
4
P
………………6分
（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，
,
所求的概率为
………12分
(20) （20）解：
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）
所以椭圆方程为。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得
设,,因为点在椭圆上，所以
………8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分
(21) (21)解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即,则
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于10}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
9．若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2
11．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.
－＝1
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二（填空题：本大题共4小题，每小题5分）
13．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为________．
14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)
15．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．
16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．
(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
20．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．
2010年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）
数学（理科）答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B
7．D 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B
二、填空题
13． 14． 三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分)
15． (x－3)2＋y2＝2 16. 60°
三、解答题
17．(1) an＝22n－1 (2) Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]
18．(1) 略 (2) .
19. (1) 14%. (2)K2≈9.967.由于9.967>6.635， 99%
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
20.(1) e＝＝＝ (2) ＋＝1.
21.(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．(2) (－∞，]．
22 (1)略 (2) BC2＝BE×CD.
23 (1) (1,0)，(，－)
(2) (α为参数)． P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．
24.(1) (2) (－∞，－2)∪[，＋∞)．
2011年宁夏理科数学
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数的共轭复数是
（A） （B） （C） （D）
（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是
（A） (B) （C） (D)
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
（A）120
（B）720
（C）1440
（D）5040
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=
（A） （B） （C） （D）
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的俯视图可以为
（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）3
（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是
（A） （B） （C） （D）
（11）设函数的最小正周期为，且，则
（A）在单调递减 （B）在单调递减
（C）在单调递增 （D）在单调递增
(12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。
（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在
轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。
（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。
（16）在中，，则的最大值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
等比数列的各项均为正数，且
求数列的通项公式.
设 求数列的前项和.
(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（为参数）
M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数,其中。
（Ⅰ）当时，求不等式的解集
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D
二、填空题
（13）-6 （14） （15） （16）
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。
由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ ）
故
所以数列的前n项和为
(18)解：
（Ⅰ ）因为, 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD. 故PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则
,,,。
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1，）
故二面角A-PB-C的余弦值为
（19）解
（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
的频率分别为0.04，,054,0.42，因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
即X的分布列为
X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
(20）解：
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为，即。
则O点到的距离.又，所以
当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
（21）解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,故h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
（22）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC,
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
（23）解：
（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.
（24）解：
（Ⅰ）当时，可化为。
由此可得 或。
故不等式的解集为或。
( Ⅱ) 由的
此不等式化为不等式组
或
即 或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得= ，故
2012年普通高等学校招生全国统一考试
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
（1）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为
A.3 B.6 C.8 D.10
（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
（3）下面是关于复数z=的四个命题
P1:=2 P2:=2i
P3:z的共轭复数为1+I P4 :z的虚部为-1
其中真命题为
A P2 ,P3 B P1 ,P2 C P2，P4 D P3 P4
（4）设F1，F2是椭圆E： +=1 (a＞b＞0)的左、右焦点 ，P为直线x=上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
A B C D
（5）已知{an}为等比数列， a4+a1=2 a5a6＝-8 则a1+a10 =
A.7 B.5 C-5 D.-7
（6）如果执行右边的程序图，输入正整数N（N≥2）和实数a1.a2,…an，输入A,B,则
(A)A+B为a1a2,…，an的和
（B）为a1a2.…，an的算式平均数
（C）A和B分别是a1a2,…an中最大的数和最小的数
（D）A和B分别是a1a2,…an中最小的数和最大的数
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6 (B)9 (C)12 (D)18
（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为
（A）（B）（C）4（D）8
(9)已知w＞0，函数在单调递减，则w的取值范围是
（A）（B）（C）（D）（0,2]
(10)已知函数，则y=f（x）的图像大致为
（11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为
（A）（B）（C）（D）
（12）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为
（A）1-ln2（B）（C）1+ln2（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1,|2a-b|=，则|b|=____________.
（14）设x，y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为__________.
（15），某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000,502），且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.
(16)数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，。
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c。
（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
（1） 证明：DC1⊥BC；
（2） 求二面角A1-BD-C1的大小。
（20）（本小题满分12分）
设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。
（1） 若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2） 若A，B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C之有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2.
（1） 求f（x）的解析式及单调区间；
（2） 若f（x）≥x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，D，E分别为△ＡＢＣ边ＡＢ，ＡＣ的中点，直线ＤＥ交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（Ⅰ）CD=BC；
（Ⅱ）△BCD △GBD。
（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式＝２.正方形ＡＢＣＤ的顶点都在Ｃ２上，且Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为。
（Ⅰ）求点Ａ，Ｂ，C，D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求的取值范围。
（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当a=-3时，求不等式(x) 3的解集；
（2）若f（x）≤的解集包含[1,2]，求a的取值范围。
参考答案
整理 by toyuanyuan
