高考数学考点讲解考点15平面向量的线性运算和坐标运算新课标解析版

高考数学考点讲解考点15平面向量的线性运算和坐标运算新课标解析版

考点15 平面向量的线性运算和坐标运算 ‎【高考再现】‎ 热点一平面向量的线性运算 ‎1.(2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量, 下列命题正确的是( )‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎2.(2012年高考辽宁卷理科3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是( )‎ ‎ (A) a∥b (B) a⊥b ‎(C) (D)a+b=ab ‎3. (2012年高考四川卷理科7)设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）‎ A、 B、 C、 D、且 ‎4.(2012年高考全国卷理科6)中，边上的高为，若，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．‎ ‎2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．‎ ‎3.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.‎ 热点二平面向量的坐标运算 ‎1.(2012年高考广东卷理科3) 若向量=（2,3），=（4,7），则=( )‎ A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)‎ ‎【答案】A ‎【解析】=+=（-2,-4）,故选A.‎ ‎2.(2012年高考安徽卷理科8)在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是（ ）‎ ‎3.（2012年高考（福建文））已知向量,则的充要条件是（　　）‎ A．B．C．D． ‎【答案】D ‎【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D正确 ‎ ‎【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质.‎ ‎4.（2012年高考（江西文））设单位向量。若,则____________。‎ ‎【方法总结】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．‎ ‎2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎2.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎3.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．‎ ‎4.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．‎ ‎5.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ‎ 二．命题方向 三．规律总结 一个区别 向量坐标与点的坐标的区别：‎ 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．‎ 当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．‎ 两个防范 一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．‎ 两个防范 ‎【基础练习】‎ ‎1．(人教A版教材习题改编)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．(4,3) B．(－4，－3)‎ C．(－3，－4) D．(－3,4)‎ 解析　a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)．‎ 答案　C ‎2.(经典习题)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量‎4a、3b－‎2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝(　　)．‎ A．(4,6) B．(－4，－6) C．(4，－6) D．(－4,6)‎ 解析　设c＝(x，y)，‎ 则‎4a＋(3b－‎2a)＋c＝0，‎ ‎∴∴ 答案　C ‎3．(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．－＋B．－－ C.－D.＋ ‎4. (经典习题)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与‎2a－b共线，则λ＝________.‎ ‎5．(经典习题)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.‎ 解析　a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，‎ ‎∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1.‎ 答案　－1　　‎ ‎【名校模拟】‎ 一．基础扎实 ‎1.(2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知向量，且，则点P的坐标为 A. (2,-4) B. () C.() D. (-2,4)‎ ‎2.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）已知向量，若，则k等于 A.6 B.—‎6 ‎ C.12 D.—12 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】又 ， 即 。‎ ‎3.(湖北武汉2012适应性训练理)已知，，，，且四边形为平行四边形，则 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎（怀化2012高三第三次模拟考试文）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因，所以，选D。‎ ‎ 5.(成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测文)设向量a=(t，-6)，b=(—3，2)，若a//b，则实数t的值是________‎ ‎【答案】 ‎【解析】依题意得，.‎ 二．能力拔高 ‎ ‎6. (浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)已知，则的最小值为 ‎ ‎ A．B． C．D． ‎7.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第三次模文）‎ 已知的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点P与的关系 .（ ）‎ A．P在内部 B． P在外部 ‎ C．P在边所在直线上 D． P在的边一个三等分点上 ‎8.(湖北省八校2012届高三第一次联考文)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若 （ ）‎ ‎ A． B． C．2 D． ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由题意得，，‎ ‎ 即，所以，故选D。‎ ‎9.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知和点M满足.若存在实使得成立，则=_____ 。‎ ‎10.(湖北省武汉外国语学校　钟祥一中2012届高三4月联考文)已知向量，若，则实数的取值为.‎ 三．提升自我 ‎11.（2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）对向量，定义一种运算“”．，已知动点P、Q分别在曲线和上运动，且(其中为坐标原点)，若，则的最大值为 ‎ A．B．‎2 C．3 D． ‎【答案】C ‎【解析】设 ，‎ 又显然当时，取得最大值为3.‎ ‎12.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考理）在△ABC中，E、F分别为AB，AC 中点.P为EF上任一点,实数x，y满足+x+y=0.设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，，，，记,,,则取最大值时，2x+y的值为 A. -1 B. ‎1 C. - D. ‎13.(襄阳五中高三年级第一次适应性考试文)已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足，那么实数m的值为________‎ 答案：3‎ 解析：由题意得，向量的减法有：，‎ ‎ 所以，所以，‎ ‎ 又，所以。‎ ‎【原创预测】‎ ‎1． 在空间直角坐标系O-xyz中，（其中i、j、k分别为X轴、y轴、z轴正方向上的单位向量).有下列命题：‎ ‎①若且，则的最小值为；‎ ‎②设，若向量与A:共线且，则动点P的轨迹是抛物线；‎ ‎③若，则平面MQR内的任意一点A (x,y，z)的坐标必然满足关系式；‎ ‎④设，，若向量^1/共线且，则动点P的轨迹是双曲线的一部分.‎ 其中你认为正确的所有命题的序号为. _______‎ ‎ (文)在平面直角坐标系O—xy中，（其中i、j分别为x轴,y轴正方向上的单位向量).有下列命题：‎ ‎①若，则的最小值为3;‎ ‎②若x>0，y>0且，则的最小值为；‎ ‎③若，则的最大值为3;‎ ‎④设，若（其中，若向量且，则动点P的轨迹是拋物线.‎ 其中你认为正确的所有命题的序号为______________‎