构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用

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构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用

构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用 函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法,构造函数法便是其中的一种,下面就源于两个重要极限的不等式利用近三年高考题举例加以说明。‎ ‎1.设函数在R上的导函数为,且,下面的不等式在R上恒成立的是 A.    B. C.   D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知,首先令得,排除B,D.‎ 令,则,‎ ‎① 当时,有,所以函数单调递增,所以当时, ,从而.‎ ‎② 当时,有,所以函数单调递减,所以当时, ,从而.综上.故选A.‎ ‎【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用.通过分析解析式的特点,考查了分析问题和解决问题的能力.‎ ‎2.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性; ‎ ‎(Ⅱ)证明:若,则对任意,,有.‎ 解:(Ⅰ)的定义域为.‎ ‎ …………………2分 ‎(i)若即,则,‎ 故在单调增加.‎ ‎(ii)若,而,故,则当时,;‎ 当及时,.故在单调减少,‎ 在单调增加.‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数.‎ 则 .‎ 由于故,即在单调增加,从而当时有 ‎,即,故,当时,有. ………………………………12分 ‎3.已知曲线.从点向曲线引斜率为 的切线,切点为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎【解析】曲线是圆心为,半径为的圆,切线 ‎ (Ⅰ)依题意有,解得,又,‎ ‎ 联立可解得,‎ ‎ (Ⅱ),‎ ‎ 先证:, ‎ 证法一:利用数学归纳法 ‎ 当时,,命题成立,‎ ‎ 假设时,命题成立,即,‎ ‎ 则当时,‎ ‎ ∵,‎ 故.‎ ‎ ∴当时,命题成立 ‎ 故成立.‎ 证法二:,,‎ 下证:.‎ ‎ 不妨设,令,‎ 则在上恒成立,故在上单调递减,‎ 从而,即.‎ 综上,成立.‎ ‎4.【09全国Ⅱ·理】22.(本小题满分12分)‎ 设函数有两个极值点,且.‎ ‎(I)求的取值范围,并讨论的单调性;‎ ‎(II)证明:.‎ ‎【解】(I)由题设知,函数的定义域是 且有两个不同的根,故的判别式,即 ‎ ‎ 且 …………………………………①‎ ‎ 又故.因此的取值范围是.‎ 当变化时,与的变化情况如下表:‎ 因此在区间和是增函数,在区间是减函数.‎ ‎(II)由题设和①知 ‎ ‎ 于是    .‎ 设函数  ‎ 则  ‎ 当时,;‎ 当时,故在区间是增函数.‎ 于是,当时,‎ 因此 . www.ks5u.com ‎5.【2008年山东理】 21.(本题满分12分)‎ 已知函数其中为常数.‎ ‎(I)当时,求函数的极值;‎ ‎(II)当时,证明:对任意的正整数,当时,有 ‎【标准答案】‎ ‎(Ⅰ)解:由已知得函数的定义域为,‎ 当时,,所以.‎ ‎(1)当时,由得,,‎ 此时.‎ 当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增.‎ ‎(2)当时,恒成立,所以无极值.‎ 综上所述,时,‎ 当时,在处取得极小值,极小值为.‎ 当时,无极值.‎ ‎(Ⅱ)证法一:因为,所以.‎ 当为偶数时,‎ 令 ,‎ 则().‎ 所以 当时,单调递增,‎ 又,‎ 因此 恒成立,‎ 所以 成立.‎ 当为奇数时,‎ 要证,由于,所以只需证,‎ 令 ,‎ 则 (),‎ 所以 当时,单调递增,又,‎ 所以当时,恒有,即命题成立.‎ 综上所述,结论成立.‎ 证法二:当时,.‎ 当时,对任意的正整数,恒有,‎ 故只需证明.‎ 令 ,,‎ 则 ,‎ 当时,,故在上单调递增,‎ 因此 当时,,即成立.‎ 故 当时,有.‎ 即 .‎ ‎【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果,当时恒成立,无极值.第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”,即先证单调性,然后求最值 ,最后作出判断.‎ ‎【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式 ‎【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响,分类讨论无目标,判断 的正负漏掉符号.‎ ‎【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理,使之成为一个系统,在具体运用时自如流畅,既要具有一定的思维定向,也要谨防盲目套用.此类问题对转化能力要求很高,不能有效转化是解题难以突破的主要原因,要善于构造函数证明不等式,从而体现导数的工具性.‎ ‎6.【2007年山东理】 (22)(本小题满分14分)‎ 设函数,其中.‎ ‎(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;‎ ‎(II)求函数的极值点;‎ ‎(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.‎ ‎【解】(Ⅰ)由题意知,的定义域为,‎ 设,其图象的对称轴为,‎ ‎ ‎ 当时,,即在上恒成立,‎ 当时,,‎ 当时,函数在定义域上单调递增 ‎ ‎(Ⅱ)①由(Ⅰ)得:当时,函数无极值点 ‎ ‎②时,有两个相同的解,‎ 时,, 时,,‎ 时,函数在上无极值点 ‎ ‎③当时,有两个不同解,,,‎ 时,,,‎ 即, ‎ 时,,随的变化情况如下表:‎ 极小值 由此表可知:时,有惟一极小值点,‎ 当时,, ,‎ 此时,,随的变化情况如下表:‎ 极大值 极小值 由此表可知:时,有一个极大值和一个极小值点 ‎;‎ 综上所述:时,有惟一最小值点;‎ 时,有一个极大值点和一个极小值点;‎ 时,无极值点 ‎ ‎(Ⅲ)当时,函数,‎ 令函数,‎ 则.‎ 当时,,所以函数在上单调递增,‎ 又  时,恒有,即恒成立 ‎ 故当时,有.‎ 对任意正整数取,则有 所以结论成立.‎ ‎7.【2008年湖南理】 21.(本小题满分13分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对任意的都成立(其中是自然对数的底数).‎ 求的最大值.‎ 解: (Ⅰ)函数的定义域是,‎ 设,则 令则 当时, 在上为增函数,‎ 当x>0时,在上为减函数.‎ 所以在处取得极大值,而,所以,‎ 函数在上为减函数.‎ 于是当时,‎ 当时,‎ 所以,当时,在上为增函数.‎ 当时,在上为减函数.‎ 故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ ‎(Ⅱ)不等式等价于不等式由知,‎ 设则 由(Ⅰ)知,即 所以于是在上为减函数.‎ 故函数在上的最小值为 所以a的最大值为 ‎1.2009潍坊文科(22)(本小题满分14分)‎ ‎ 设函数表示的导函数.‎ ‎ (I)求函数的单调递增区间;‎ ‎ (Ⅱ)当k为偶数时,数列{}满足,求数列{}的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)当k为奇数时, 设,数列的前项和为,证明不等式 对一切正整数均成立,并比较与的大小.‎ 解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),‎ ‎ 又 , …………1分 ‎ 当k为奇数时,,‎ 即的单调递增区间为. …………2分 ‎ 当k为偶函数时,‎ 由,得,即的单调递增区间为,‎ 综上所述:当k为奇数时,的单调递增区间为,‎ 当k为偶数时,的单调递增区间为 …………4分 ‎(Ⅱ)当k为偶数时,由(Ⅰ)知 ‎ 所以 根据题设条件有 ‎∴{}是以2为公比的等比数列,‎ ‎∴ ………………………………8分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当k为奇数时,‎ 由已知要证两边取对数,即证…………………10分 事实上:设则 因此得不等式 …………………………………………①‎ 构造函数下面证明在上恒大于0.‎ ‎∴在上单调递增,‎ 即 ‎∴ ∴‎ 即成立. ………………………………………………………12分 由 得 即 当时, ……………………………………………14分 ‎2.山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题(22)(本小题满分14分)‎ 已知,函数.‎ ‎(Ⅰ)试问在定义域上能否是单调函数?请说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若在区间 上是单调递增函数,试求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)当 时,设数列 的前项和为,求证:‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)的定义域为,,由得. ……2分 ‎ 当时,,递减;‎ ‎ 当时,,递增.‎ ‎ 所以不是定义域上的单调函数. ……………………………4分 ‎(Ⅱ)若在是单调递增函数,则恒成立,即恒成立.‎ ‎………………………….…6分 ‎ 即 . ……………8分 ‎ (Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,在上为增函数,‎ ‎ ‎ ‎ 又当时,, ,即.‎ ‎ 令则,当时,‎ ‎ 从而函数在上是递增函数,所以有即得 ‎ 综上有: ………………………………10分 ‎ ………………………………………12分 ‎ 令时,不等式也成立,‎ ‎ 于是代入,将所得各不等式相加,得 ‎ ‎ ‎ 即 即 ……………………14分 ‎3.山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数,如果 在其定义域上是增函数,且存在零点(的导函数).‎ ‎ (I)求的值;‎ ‎ (II)设是函数的图象上两点,‎ 解:(I)因为 ‎ 所以 ‎ 因为上是增函数. ‎ ‎ 所以上恒成立 ……………………………1分 ‎ 当 ‎ 而上的最小值是1.‎ ‎ 于是(※)‎ ‎ 可见 ‎ 从而由(※)式即得 ① ………………..………………………… 4分 ‎ 同时,‎ ‎ 由 ‎ 解得②,或 ‎ 由①②得 ‎ ‎ 此时,即为所求 ……………………………6分 ‎ 注:没有提到(验证)时,不扣分.‎ ‎ (II)由(I),‎ ‎ 于是 ……………………………7分 ‎ 以下证明(☆)‎ ‎ (☆)等价于 ……………………………8分 ‎ 构造函数 ‎ 则时,‎ ‎ 上为增函数.‎ ‎ 因此当 即 ‎ 从而得到证明. ……………………………11分 ‎ 同理可证 ……………………………12分 ‎ 注:没有“综上”等字眼的结论,扣1分.‎ ‎4.烟台市三月诊断性检测数学理22.(本小题满分14分)‎ ‎ 设函数(为自然对数的底数).‎ ‎ (1)求的极值;‎ ‎ (2)若存在实常数k和b,使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足和,则称直线为和的“隔离直线”.‎ ‎ 试问函数和是否存在“隔离直线”?若存在.求出此“隔离直线”方程;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵‎ ‎∴‎ ‎∴当时,.‎ ‎∵当时此时递减;……………………………………3’‎ 当时,,此时递增.‎ ‎∴当时,取极小值,其极小值为0.…………………………………6’‎ ‎(2)由(1)可知,当时,(当且仅当时取等号).‎ 若存在和的“隔离直线”,则存在实常数和,‎ 使得和恒成立.‎ ‎∵和的图象在处有公共点,因此若存在和的“隔离直线”,‎ 则该直线过这个公共点. …………………………………………………8’‎ 设“隔离直线”方程为,即 由可得当时恒成立.‎ ‎∵‎ ‎∴由,得……………………………………………………………10’‎ 下面证明当时恒成立.‎ 令则 当时,;‎ 当时,,此时递增;‎ 当时,此时递减.‎ ‎∴当时,取极大值.其极大值为0.‎ 从而 即恒成立.………………………………………………13’‎ ‎∴函数和存在唯一的“隔离直线”………………………14’‎ ‎5.2009届山东省德州市高三第一次练兵(理数)21.(本小题满分12分)‎ 已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.‎ ‎(1)求、的表达式;‎ ‎(2)求证:当时,方程有唯一解;‎ ‎(3)当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.‎ 解:(1)依题意,即,.‎ ‎∵上式恒成立,∴ ① …………………………1分 又,依题意,即,.‎ ‎∵上式恒成立,∴ ② …………………………2分 ‎ 由①②得. …………………………3分 ‎ ‎∴ …………………………4分 ‎(2)由(1)可知,方程,‎ 设,‎ 令,并由得解知………5分 令由 …………………………6分 ‎ 列表分析:‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+¥)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 ‎0‎ 递增 可知在处有一个最小值0, …………………………7分 当时,>0,‎ ‎∴在(0,+¥)上只有一个解.‎ 即当x>0时,方程有唯一解. …………………………8分 ‎(3)设, …………9分 在为减函数 又………11分 所以:为所求范围. …………………………12分 ‎6.山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试(数学理)22.‎ 已知函数 (注:)‎ ‎(1)若函数在上为增函数,求正实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,若直线与函数的图象在上有两个不同交点,求实数的取值范围:‎ ‎(3)求证:对大于1的任意正整数 解:(1)因为 所以 依题意可得,对恒成立,‎ 所以 对恒成立,‎ 所以 对恒成立,,即 ‎(2)当时,若,,单调递减;‎ 若单调递增;‎ 故在处取得极小值,即最小值 又 所以要使直线与函数的图象在上有两个不同交点,‎ 实数的取值范围应为,即;‎ ‎(3)当时,由可知,在上为增函数,‎ 当时,令,则,故,‎ 即所以.‎ 故 ‎ 相加可得 又因为 所以对大于1的任意正整书 ‎(二)2009年4月后 ‎7.山东省滨州市2009年5月高考模拟试题(理数)20.(本题满分12)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,设斜率为的直线与函数相交于两点 ‎ ,求证:.‎ 解:(Ⅰ)略 ‎(Ⅱ)当时,‎ 以下先证, ‎ 所以只需证,即 设,则.‎ 所以在时,为减函数, .‎ 即.又,‎ ‎∴成立,即.‎ 同理可证.‎ ‎∴.‎ ‎8.山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22.(本题满分14分)‎ 设函数.(是自然对数的底数)‎ ‎(Ⅰ)判断函数零点的个数,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)设数列满足:,且 ‎ ①求证:;‎ ‎②比较与的大小.‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ 令 ‎ 当时,在上是增函数 ‎ 当时,在上是减函数 …………….2分 ‎ 从而………….4分 ‎ 注意到函数在上是增函数,‎ ‎ 从而 从而 ‎ 综上可知:有两个零点. ………………………………………………….6分 ‎(Ⅱ)因为即 ‎ 所以 ………………………………………………….7分 ‎ ①下面用数学归纳法证明. 当时,,不等式成立.‎ ‎ 假设时, 那么 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 这表明时,不等式成立.‎ ‎ 所以对, ………………………………………………….10分 ‎②因为 考虑函数 …………………………………….12分 ‎ ‎ 从而在上是增函数 ‎ 所以 即 …………………………………………………………14分 ‎9.山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22.(本题满分14分)‎ 已知函数在上为增函数,且,‎ ‎,.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)若在上为单调函数,求的取值范围;‎ ‎(3)设,若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.‎ 解:‎ ‎(1)由题意,在上恒成立,即 ‎ .故在上恒成立, ……………2分 ‎ 只须,即,只有.结合得.…4分 ‎(2)由(1),得 在上为单调函数,‎ 或者在恒成立. …………….. 6分 等价于即 而. …………………………………8分 等价于即在恒成立,‎ 而.‎ 综上,的取值范围是. ………………………………………10分 ‎(3)构造函数 当时,,,所以在上不存在一个,‎ 使得成立.‎ 当时, …………12分 因为所以,,所以在恒成立.‎ 故在上单调递增,,只要,‎ 解得 故的取值范围是 ……………………………………………14分 ‎10.山东省烟台市2009届高考适应性练习(二)理综试题 22.(本小题满分14分)‎ ‎ 数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.‎ ‎ (1)求数列的通项公式;‎ ‎ (2)设数列的前项和为,且,求证:对任意实数是常数,=2.71828…)和任意正整数,总有;‎ ‎(3)在正数数列中,.求数列中的最大项.‎ 解:由已知:对于,总有成立…(1)‎ ‎ …(2) ……………………………………1分 ‎(1)—(2)得 均为正数, ‎ ‎ 数列是公差为1的等差数列 ………………………………………3分 ‎ 又时,,解得 ‎ ……………………………………………………………5分 ‎(2)证明:对任意实数和任意正整数,总有……6分 ‎ ‎ ‎ ……………9分 ‎(3)解:由已知 ‎ ,,‎ ‎ ‎ ‎ 易得 ‎ 猜想时,是递减数列 ……………………………………………11分 ‎ 令,则 ‎ 当时,,则,即 ‎ 在内为单调递减函数,‎ ‎ 由知 ‎ 时,是递减数列,即是递减数列 ‎ 又,数列中的最大项为 …………………………14分 三、2010年模拟试题 ‎1.山东临沂罗庄补习学校数学资料 已知 ‎(1)求函数的极值点;‎ ‎(2)若函数在上有零点,求的最小值;‎ ‎(3)证明:当时,有成立;‎ ‎(4)若,试问数列中是否存在?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由.(为自然对数的底数).‎ 解:(1)由题意,的定义域为 ……………1分 ‎ ……………………………………………………2分 函数的单调递增区间为和,的单调递减区间为,‎ 所以为的极大值点, ………………………………………………3分 为的极小值点, ………………………………………………4分 ‎(2)在上的最小值为 且 在上没有零点,……………………………………………5分 函数在上有零点,并考虑到在单调递增且在单调递减,故只须且即可,……………………………………………6分 易验证 当时均有所以函数在上有零点,‎ 即函数在上有零点, 的最大值为 ……………9分 ‎(3)证明:当时,不等式 即为:‎ 构造函数则 所以函数在上是减函数,因而时,‎ 即:时,成立,所以当时,成立;…11分 ‎(4)因为 令,得:,结合得:时,‎ 因此,当时,有 所以当时,,即 ……………………………12分 又通过比较的大小知:,‎ 因为且时所以若数列中存在相等的两项,只能是与后面的项可能相等,‎ 又,所以数列中存在唯一相等的两项,‎ 即. ……………………………………………………………………14分 ‎2.皖南八校2010届高三年级第二次联考21.(本小题满分13分)‎ ‎ 在数列中,‎ ‎ (I)求证:数列为等差数列;‎ ‎ (II)若m为正整数,当时,求证:.‎ 解:(I)由变形得:‎ 故数列是以为首项,1为公差的等差数列…………(5分)‎ ‎ (II)(法一)由(I)得 ‎…………(7分)‎ 令 当 又 则为递减数列.‎ 当m=n时,递减数列. (9分)‎ 要证:时,‎ 故原不等式成立. (13分)‎ ‎(法二)由(I)得 ‎ (7分)‎ 令 上单调递减.(9分)‎ ‎∴‎ 也即证,‎ 故原不等式成立. (13分)‎
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