高考数学——专题二十不等式选讲

高考数学——专题二十不等式选讲

专题二十 不等式选讲 ‎1.（15年福建理科）已知，函数的最小值为4．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得 的最小值为，故，即 ；(Ⅱ)利用柯西不等式求解．‎ 试题解析：(Ⅰ)因为 当且仅当时，等号成立 又，所以,所以的最小值为,‎ 所以．‎ ‎(Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得 ‎,‎ 即.‎ 当且仅当,即时，等号成立 所以的最小值为.‎ 考点：1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．‎ ‎2.（15年新课标2理科）设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：‎ ‎（1）若ab > cd；则；‎ ‎（2）是的充要条件。‎ ‎3.（15年新课标2文科）设 均为正数,且.证明：‎ ‎（I）若 ,则；‎ ‎（II）是的充要条件.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由及,可证明,开方即得.（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.‎ 试题解析：‎ 解：（I）因为 ‎ 考点：不等式证明.‎ ‎4.（15年陕西理科）已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（I）求实数，的值； ‎ ‎（II）求的最大值．‎ ‎【答案】（I），；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（II）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．‎ 试题解析：（I）由，得 则解得,‎ ‎（II）‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故.‎ 考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.‎ ‎ ‎ ‎5.（15年陕西文科）已知关于的不等式的解集为 ‎(I)求实数的值；‎ ‎(II)求的最大值.‎ ‎【答案】(I) ；(II).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由，得，由题意得，解得；‎ ‎(II)柯西不等式得，当且仅当即时等号成立，故.‎ 试题解析：(I)由，得 则，解得 ‎(II)‎ 当且仅当即时等号成立，‎ 故 考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.‎ ‎6.（15年江苏）解不等式 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可 试题解析：原不等式可化为或．‎ 解得或．‎ 综上，原不等式的解集是．‎ 考点：含绝对值不等式的解法