2007新课标高考数学理科试题分类精编16抛物线

2007新课标高考数学理科试题分类精编16抛物线

‎2007年-2010年新课标高考数学（理科）试题分类精编 第16部分-抛物线 一. 选择题 ‎1.(2010年陕西理8).已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 【 】‎ ‎ ‎ ‎【答案】C【解析】由题设知，直线与圆相切，从而.故选.‎ ‎2.(2010年福建理2)以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。‎ ‎【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。‎ ‎3.( 2010年辽宁理7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=‎ ‎ (A) (B)8 (C) (D) 16‎ ‎【答案】B【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8‎ ‎4.(2009年天津理9）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=‎ ‎（A） （B） （C） （D） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。‎ 解析：由题知，‎ 又 由A、B、M三点共线有即，故，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴，故选择A。‎ ‎5.(2008年海南理11)已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图 ‎,故最小值在三点共线时取得，‎ 此时的纵坐标都是，所以选A。（点坐标为）‎ ‎6.(2007年海南理6)已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎【答案】：C【分析】：由抛物线定义，即：‎ 二.填空题 ‎1.(2010年湖南理14)过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎2.（2010年浙江理13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。‎ 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题 ‎3.(2010年上海理3) 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。‎ 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x ‎4.（2009年海南理13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.‎ 答案：y=x解析：抛物线的方程为 ，‎ ‎5.(2009年福建理13)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。‎ ‎6.(2007年山东理13)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为________.‎ ‎【答案】: 【分析】：过A 作轴于D，令，则，，。‎ ‎7．（2007年广东理11）在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;‎ 答案：;解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;‎ 三.解答题 ‎1.(2009年江苏22)（本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系 中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；‎ ‎（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎ ‎ ‎2.(2009年广东理19)（本小题满分14分）‎ 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．‎ ‎（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．‎ xA xB D 解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则 ‎，即，又点在曲线上，‎ ‎∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.‎ ‎（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.‎ ‎3.(2008年山东理22)（本小题满分14分）‎ 如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．‎ ‎（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x B A O M 解：（Ⅰ）证明：由题意设．‎ 由得，得，‎ 所以，．‎ 因此直线的方程为，直线的方程为．‎ 所以，①．②‎ 由①、②得，因此，即．‎ 所以三点的横坐标成等差数列．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：‎ ‎，，所以是方程的两根，‎ 因此，，又，所以．‎ 由弦长公式得．‎ 又，所以或，因此所求抛物线方程为或．‎ ‎（Ⅲ）解：设，由题意得，‎ 则的中点坐标为，设直线的方程为，‎ 由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．‎ 若在抛物线上，则，因此或．‎ 即或．‎ ‎（1）当时，则，此时，点适合题意．‎ ‎（2）当，对于，此时，，‎ 又，，所以，‎ 即，矛盾．‎ 对于，因为，此时直线平行于轴， 又，‎ 所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．‎ 综上所述，仅存在一点适合题意．‎ ‎4.(2008年上海理200(3’+5’+8’)‎ 设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是 直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点 ‎⑴ 若a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标 ‎⑵ 若点P(a,b)（ab≠0）在椭圆+y2＝1上，p＝，求证：点Q落在双曲线4x2－4y2＝1上 ‎⑶ 若动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由 ‎【解析】（1）当时，‎ 解方程组 得 即点的坐标为 ……3分 ‎（2）【证明】由方程组 得 即点的坐标为 …5分 时椭圆上的点，即 ，‎ 因此点落在双曲线上 ……8分 ‎（3）设所在的抛物线方程为 ……10分 将代入方程，得，即 ……12分 当时，，此时点的轨迹落在抛物线上；‎ 当时， ，此时点的轨迹落在圆上；‎ 当时，，此时点的轨迹落在椭圆上；‎ 当时，此时点的轨迹落在双曲线上； ……16分