高考文数抛物线教师版

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第24讲 抛物线 ‎【2013年高考会这样考】‎ ‎1．考查抛物线定义、标准方程． 2．考查抛物线的焦点弦问题．‎ ‎3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．‎ 基础梳理 ‎1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ 其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0)‎ y2＝－2px (p>0)‎ x2＝2py (p>0)‎ x2＝－2py (p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 ‎ 向右 向左 向上 向下 焦半径 ‎|PF|＝x0＋ ‎|PF|＝－x0＋ ‎|PF|＝y0＋ ‎|PF|＝－y0＋ 一个结论 焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋.‎ 两种方法 ‎(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．‎ ‎(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)．‎ 双基自测 ‎1．(人教A版教材习题改编)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( C )．‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( A )．‎ A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝－12x D．y2＝12x ‎3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是( C )．‎ A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x ‎4．(2012·西安月考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( B )．‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ ‎5．(2012·长春模拟)抛物线y2＝8x的焦点坐标是____(2,0)____．‎ ‎ 考向一 抛物线的定义及其应用 ‎【例1】►(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( C )．‎ A. B．1 C. D. ‎ 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．‎ ‎【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )．‎ A. B．3 C. D. 考向二 抛物线的标准方程及性质 ‎【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为___‎ y2＝－8x或x2＝－y _____．‎ ‎(2)(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．‎ ‎ 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ ‎【训练2】 已知F为抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为( B )．‎ A．－ B．± C．－ D．± 考向三 抛物线的综合应用 ‎【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.‎ ‎(1)求该抛物线的方程；‎ ‎(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．‎ ‎ 本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．‎ ‎【训练3】 设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．‎ ‎(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；‎