2016年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

2016年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理科）‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件，互斥，那么；‎ ‎ 如果事件，相互独立，那么；‎ ‎ 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高；‎ ‎ 锥体体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高．‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2016年天津，理1，5分】已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】把分别代入得：，即，∵，∴，故选D．‎ ‎【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．‎ ‎（2）【2016年天津，理2，5分】设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线，图中的 虚线，平移直线，可得经过点时，取得最小值6，故选B． ‎ ‎【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．‎ ‎（3）【2016年天津，理3，5分】在中，若，，，则（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中，若，，，，得：，‎ 解得或（舍去），故选A．‎ ‎【点评】（1）正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．（2）利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．‎ （4） ‎（4）【2016年天津，理4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）‎ ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次判断后：不满足条件，，，；第二次判断不满足条件；‎ 第三次判断满足条件：，此时计算，，第四次判断不满足条件，‎ 第五次判断不满足条件，．，第六次判断满足条件，故输出，故选B．‎ ‎【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．‎ ‎（5）【2016年天津，理5，5分】设是首项为正数的等比数列，公比为则“”是“对任意的正整数，”的（ ）‎ ‎ （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】是首项为正数的等比数列，公比为，若“”是“对任意的正整数，”不一定 成立，例如：当首项为2，时，各项为2，，，，…，此时，；‎ 而“对任意的正整数，”，前提是“”，则“”是“对任意的正整数，”‎ 的必要而不充分条件，故选C．‎ ‎【点评】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎（6）【2016年天津，理6，5分】已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线两条渐近线方程为，‎ 设，则∵四边形的面积为，∴，∴，将代入，可得，∴，∴双曲线的方程为，故选D．‎ ‎【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定，的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为．②若已知渐近线方程为，则双曲线方程可设为．‎ ‎（7）【2016年天津，理7，5分】已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由、分别是边、的中点，， ，‎ ‎ ，故选B．‎ ‎【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎（8）【2016年天津，理8，5分】已知函数（，且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】在递减，则，函数在R上单调递减，则；解得，；由图象可知，在上，有且仅有一个解，故在上， 同样有且仅有一个解，‎ 当即时，联立，则，‎ 解得或1（舍去），当时，由图象可知，符合条件，综上：的取值范围为，‎ 故选C．‎ ‎【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 第II卷（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）【2016年天津，理9，5分】已知，，是虚数单位，若，则的值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵，，∴，解得：，∴．‎ ‎【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为．‎ ‎（10）【2016年天津，理10，5分】的展开式中的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，令，解得．∴的展开式中的系数为．‎ ‎【点评】（1）求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即，均为非负整数，且）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．‎ ‎（11）【2016年天津，理11，5分】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图 ‎ 如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底 ‎ 为2，高为1的平行四边形，故底面面积，棱锥的高，．‎ ‎【点评】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观 图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图 的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎（12）【2016年天津，理12，5分】如图，是圆的直径，弦与相交于点，， ‎ ‎，则线段的长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过作于，∵，，∴，，， ‎ ‎∴，则，在中，则 ，‎ 由相交弦定理得：，∴．‎ ‎【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推 ‎ 论；（2）当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相 似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交 弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关 的相似三角形等．‎ ‎（13）【2016年天津，理13，5分】已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满 足，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，∴在区间上单调递减，‎ 则，等价为，即，则，即．‎ ‎【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数 轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助 函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代 数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．‎ ‎（14）【2016年天津，理14，5分】设抛物线（为参数，）的焦点，准线为．过抛物线上一点作的垂线，垂足为．设，与相交于点．若，且的面积为，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线（为参数，）的普通方程为：焦点为，如图：过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点．，，，，的面积为，，可得．即：，解得．‎ ‎【点评】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，，则弦长为，可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）【2016年天津，理15，13分】已知函数． ‎（1）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性．‎ 解：（1）的定义域为．‎ ‎．所以， 的最小正周期．‎ ‎ （2）令，函数的单调递增区间是 由，得 ‎ 设，易知．‎ 所以，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证． 对于三角函数来说，常常是先化为的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．‎ ‎（16）【2016年天津，理16，13分】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，‎ ‎3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；‎ ‎（2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．‎ 解：（1）由已知，有所以，事件发生的概率为．‎ ‎（2）随机变量的所有可能取值为，，‎ ‎．所以，随机变量分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 随机变量的数学期望．‎ ‎【点评】求均值、方差的方法（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；（2）已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；（3）如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎（17）【2016年天津，理17，13分】如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．‎ 解：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴 ‎ 的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，‎ ‎．‎ ‎（1）．设为平面的法向量，则，‎ 即 ．不妨设，可得，又，可得，‎ 又因为直线，所以．‎ ‎（2）易证，为平面的一个法向量．依题意，．设为平面的法向量，则，即．不妨设，可得．因此有，于是，‎ 所以，二面角的正弦值为．‎ ‎（3）由，得．因为，所以，进而有，‎ 从而，因此．直线和平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】1、利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐 标运算．2、利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．（1），，；‎ ‎（2）；（3）．‎ ‎（18）【2016年天津，理18，13分】已知是各项均为正数的等差数列，公差为．对任意的，是 ‎ 和的等比中项．‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，，求证．‎ 解：（1）由题意得，有，因此，‎ 所以是等差数列．‎ ‎（2）‎ 所以．‎ ‎【点评】分组转化法求和的常见类型（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和．（2）通项公式为的数列，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ ‎（19）【2016年天津，理19，14分】设椭圆的右焦点为，右顶点为．已知，其中为原点，为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点 ‎．若，且，求直线的斜率的取值范围．‎ 解：（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的方程为．设，由方程组，‎ 消去，整理得．解得，或，由题意得，‎ 从而．由（1）知，，设，有，．‎ 由，得，所以，解得．因此直线的方程为．设，由方程组消去，解得．在中，，即，化简得，即，解得或．所以，直线的斜率的取值范围为．‎ ‎【点评】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确 定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间 建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本 不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎（20）【2016年天津，理20，14分】设函数，，其中，．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．‎ 解：（1）由，可得．下面分两种情况讨论：‎ ‎①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为．‎ ‎②当时，令，解得，或．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．‎ ‎（2）因为存在极值点，所以由（1）知，且，由题意，得，‎ 即，进而．‎ ‎，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以．‎ ‎（3）设在区间上的最大值为，表示两数的最大值．下面分三种情况同理：‎ ‎①当时，，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间 上的取值范围为，因此 ‎，所以．‎ ‎②当时，，由（1）和（2）知，‎ ‎，，所以在区间上的 取值范围为，‎ ‎．‎ ‎③当时，，由（1）和（2）知，，‎ ‎，所以在区间上的取值范围为，因此 ‎．‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于．‎ ‎【评析】1、求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数的定义域（定义域优先）；（2）求导函数；‎ ‎（3）在函数的定义域内求不等式或的解集．（4）由的解集确定函数的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2、由函数在上的单调性，求参数范围问题，可转化为 （或）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．‎