全国高考文科数学试题及答案北京卷

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全国高考文科数学试题及答案北京卷

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 数学(文史类)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知,集合,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图,输出的值为 ‎(A)2 (B) (C) (D)‎ ‎(4)若满足则的最大值为 ‎(A)1 (B)3 (C)5 (D)9‎ ‎(5)已知函数,则 ‎(A)是偶函数,且在R上是增函数 (B)是奇函数,且在R上是增函数 ‎(C)是偶函数,且在R上是减函数 (D)是奇函数,且在R上是减函数 ‎(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ‎(A)60 (B)30 (C)20 (D)10‎ ‎(7)设为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:lg3≈0.48)‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则_________.‎ 8‎ ‎(10)若双曲线的离心率为,则实数=__________.‎ ‎(11)已知,,且,则的取值范围是__________.‎ ‎(12)已知点在圆上,点的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为_________.‎ ‎(13)能够说明“设是任意实数.若,则”是假命题的一组整数的值依次为______________________________.‎ ‎(14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:‎ ‎(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;‎ ‎(ⅱ)女学生人数多于教师人数;‎ ‎(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ‎①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________.‎ ‎②该小组人数的最小值为__________.‎ 三、解答题:共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 已知等差数列和等比数列满足.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求和:.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,‎ 8‎ ‎(17)(本小题13分)‎ 某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),......,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;‎ ‎(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;‎ ‎(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 如图,在三棱锥中,,为线段的中点,为线段上一点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)当平面时,求三棱锥的体积.‎ 8‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知椭圆的两个顶点分别为A(−2,0),B(2,0),焦点在轴上,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,过作的垂线交于点.求证:△与△的面积之比为4:5.‎ ‎(20)(本小题13分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ 8‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 数学(文史类)‎ 一、选择题 ‎(1)C (2)B (3)C (4)D (5)B (6)D (7)A (8)D 二、填空题 ‎(9) (10)2 (11) (12)6 (13)-1,-2,-3 (14)6,12‎ 三、解答题 ‎(15)解:(Ⅰ)设的公差为,据已知,得,‎ 所以. 所以 ‎(Ⅱ)设的公比为,因为,所以,所以 因为是首项为1公比为的等比数列,所以是首项为1公比为的等比数列,‎ 所以 求和:.‎ ‎(16)解:‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎ ‎ 所以,最小正周期为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ 因为 所以 所以,当,即时,取最小值,‎ 所以,得证 ‎(17)解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,分数小于70的频率为 8‎ ‎(Ⅱ)设样本中分数在区间[40,50)内的人数为,则由频率和为1得 ‎ 解得 ‎(Ⅲ)因为样本中分数不小于70的人数共有(人)‎ 所以,分数不小于70的人中男女各占30人 所以,样本中男生人数为30+30=60人,女生人数为100-60=40人 所以,总体中男生和女生的比例为 ‎(18)(Ⅰ)证明:,‎ 又平面平面,平面,‎ 又平面, ‎ ‎(Ⅱ)证明:,是的中点,,‎ 由(Ⅰ)知平面平面,‎ 平面平面,‎ 平面平面,‎ 平面,,‎ 平面,‎ 平面,‎ 平面平面,‎ ‎(Ⅲ)平面,‎ 又平面平面,‎ 平面,‎ ‎ ‎ 是中点,‎ 为的中点,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎(19)解:(Ⅰ)焦点在轴上,且顶点为 ‎ ‎ ‎ 8‎ ‎ 椭圆方程为 ‎(Ⅱ)设 ,‎ 直线的方程是 ,‎ ‎,,‎ 直线的方程是 ,直线的方程是 ,‎ 直线与直线联立 ‎ ,‎ 整理为: ,即 ‎ 即,解得,‎ 代入求得 ‎ ‎ ‎ 又 和面积的比为4:5‎ ‎(20)解:‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎∴‎ ‎∴曲线在点处的切线斜率为 切点为,‎ 8‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为 ‎(Ⅱ),‎ 令 则 当,可得,‎ 即有在上单调递减,可得,‎ 所以在上单调递减,‎ 所以函数在区间上的最大值为;‎ 最小值为 8‎
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