江苏高考数学试题及详细答案含附加题

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江苏高考数学试题及详细答案含附加题

‎2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式:‎ 圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl, 其中c是圆柱底面的周长,l为母线长.‎ 圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高.‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合,,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎2.已知复数(i为虚数单位),则z的实部为 .‎ ‎【答案】21‎ ‎3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是 .‎ ‎【答案】5‎ ‎4.从这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的 概率是 .‎ ‎【答案】‎ ‎5.已知函数与,它们的图象有一个横坐标为 的交点,则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎6.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株 树木的底部周长小于100 cm.‎ ‎【答案】24‎ ‎7.在各项均为正数的等比数列中,若,,‎ 则的值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为,体积分别为,若它们的侧面积相等,且,则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎9.在平面直角坐标系xOy中,直线被圆截得的弦长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎10.已知函数,若对任意,都有成立,则实数m的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,若曲线(为常数)过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎12.如图,在平行四边形ABCD中,已知,,,则的 值是 .‎ ‎【答案】22‎ ‎13.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎14.若的内角满足,则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ 二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14 分)已知,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能 ‎ 力. 满分14分.‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴‎ ‎ ;‎ ‎(2)∵‎ ‎ ∴.‎ ‎16.(本小题满分14 分)如图,在三棱锥中,分别为棱的中点.已知.‎ ‎(1)求证:直线PA∥平面DEF;‎ ‎(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,‎ 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.‎ ‎(1)∵为中点 ∴DE∥PA ‎∵平面DEF,DE平面DEF ∴PA∥平面DEF ‎(2)∵为中点 ∴‎ ‎∵为中点 ∴‎ ‎∴ ∴,∴DE⊥EF ‎∵,∴‎ ‎∵ ∴DE⊥平面ABC ‎∵DE平面BDE, ∴平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎17.(本小题满分14 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点B的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若,求椭圆离心率e的值.‎ ‎【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运 ‎ 算求解能力. 满分14分.‎ ‎(1)∵,∴‎ ‎∵,∴,∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎(2)设焦点 ‎∵关于x轴对称,∴‎ ‎∵三点共线,∴,即①‎ ‎∵,∴,即②‎ ‎①②联立方程组,解得 ∴‎ ‎∵C在椭圆上,∴,‎ 化简得,∴, 故离心率为 ‎18.(本小题满分16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.‎ ‎(1)求新桥BC的长;‎ ‎(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?‎ 解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.‎ 解法一:‎ (1) 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0, 60),C(170, 0),‎ 直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.‎ 又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.‎ 设点B的坐标为(a,b),则k BC=‎ ‎ k AB=‎ 解得a=80,b=120. 所以BC=.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).‎ 由条件知,直线BC的方程为,即 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,‎ 即.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大,即圆面积最大. ‎ 所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:(1)如图,延长OA, CB交于点F.‎ 因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.‎ 因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=.‎ CF=,从而.‎ 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO==,‎ 又因为AB⊥BC,所以BF=AF cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半 径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO,‎ 故由(1)知,sin∠CFO =所以.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大,即圆面积最大.‎ 所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ ‎19.(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:是上的偶函数;‎ ‎(2)若关于x的不等式在上恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)已知正数a满足:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论.‎ ‎【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想 ‎ 方法分析与解决问题的能力.满分16分.‎ ‎(1),,∴是上的偶函数 ‎(2)由题意,,即 ‎∵,∴,即对恒成立 令,则对任意恒成立 ‎∵,当且仅当时等号成立 ‎∴‎ ‎(3),当时,∴在上单调增 令,‎ ‎∵,∴,即在上单调减 ‎∵存在,使得,∴,即 ‎∵‎ 设,则 当时,,单调增;‎ 当时,,单调减 因此至多有两个零点,而 ‎∴当时,,;‎ 当时,,;‎ 当时,,.‎ ‎20.(本小题满分16分)设数列的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得,则称是“H数列”.‎ ‎(1)若数列的前n项和,证明:是“H数列”;‎ ‎(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求d的值;‎ ‎(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得成立.‎ ‎【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.‎ ‎(1)当时,‎ 当时,‎ ‎∴时,,当时,‎ ‎∴是“H数列”‎ ‎(2)‎ 对,使,即 取得,‎ ‎∵,∴,又,∴,∴‎ ‎(3)设的公差为d 令,对,‎ ‎,对,‎ 则,且为等差数列 的前n项和,令,则 当时;‎ 当时;‎ 当时,由于n与奇偶性不同,即非负偶数,‎ 因此对,都可找到,使成立,即为“H数列”.‎ 的前n项和,令,则 ‎∵对,是非负偶数,∴‎ 即对,都可找到,使得成立,即为“H数列”‎ 因此命题得证.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)‎ ‎ 如图,AB是圆O的直径,C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点 ‎ 证明:∠OCB=∠D.‎ 本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.满分10分.‎ 证明:因为B, C是圆O上的两点,所以OB=OC.‎ ‎ 故∠OCB=∠B.‎ ‎ 又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点,‎ ‎ 故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,‎ ‎ 所以∠B=∠D.‎ ‎ 因此∠OCB=∠D.‎ B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)‎ 已知矩阵,,向量,为实数,若,求的值.‎ ‎【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.‎ ‎,,由得解得 C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线交于两点,求线段AB的长.‎ ‎【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.‎ 直线l:代入抛物线方程并整理得 ‎∴交点,,故 D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)‎ 已知x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.‎ 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.‎ 证明:因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥,1+x2+y≥,‎ 所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.‎ ‎(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;‎ ‎(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为,随机变量X表示中的最大数,求X的概率分布和数学期望.‎ ‎22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.‎ ‎(1)一次取2个球共有种可能情况,2个球颜色相同共有种可能情况 ‎∴取出的2个球颜色相同的概率 ‎(2)X的所有可能取值为,则 ‎∴X的概率分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 故X的数学期望 ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知函数,设为的导数,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)证明:对任意的,等式成立.‎ ‎23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.‎ ‎(1)解:由已知,得 于是 所以 故 ‎(2)证明:由已知,得等式两边分别对x求导,得,‎ 即,类似可得 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.‎ ‎(i)当n=1时,由上可知等式成立.‎ ‎(ii)假设当n=k时等式成立, 即.‎ 因为 ‎,‎ 所以.‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.‎ 令,可得().‎ 所以().‎
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