2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）‎ 数学(文)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则(M∩N)＝(　　) ‎ A．{1，2}          B．{2，3} C．{2，4}           D．{1，4}‎ ‎2、函数 y＝2(x≥0)的反函数为(　　) ‎ A． (x∈R)            B． (x≥0) ‎ ‎ C．y＝4x2(x∈R)          D．y＝4x2(x≥0)‎ ‎3、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，，则|a＋2b|＝(　　) ‎ A.            B．           C．            D．‎ ‎4、若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为(　　)‎ A．17            B．14         C．5            D．3‎ ‎5、下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　) ‎ A．a＞b＋1         B．a＞b－1 C．a2＞b2             D．a3＞b3‎ ‎6、设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　) ‎ A．8           B．7            C．6           D．5‎ ‎7、设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(　　) ‎ A．          B．3          C．6           D．9‎ ‎8、已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝…(　　) ‎ A．2        B．            C．           D．1‎ ‎9、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(　　) ‎ A．12种           B．24种 C．30种         D．36种 ‎10、(5分)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－5/2)＝(　　) ‎ A．           B．        C．            D．‎ ‎11、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　) ‎ A．4          B．           C．8       D．‎ ‎12、已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(　　) ‎ A．7π           B．9π            C．11π          D．13π 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)‎ ‎13、 (1－x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为______．‎ ‎14、已知，tanα＝2，则cosα＝______.‎ ‎15、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．‎ ‎16、已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______.‎ 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)‎ ‎17、设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.‎ ‎18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，‎ ‎. ‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.‎ ‎19、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． ‎ ‎（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．‎ ‎20、如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. ‎ ‎（1）证明：SD⊥平面SAB；‎ ‎（2）求AB与平面SBC所成的角的大小．‎ ‎21、已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)． ‎ ‎（1）证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)；‎ ‎（2）若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1，3)，求a的取值范围．‎ ‎22、已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足. ‎ ‎（1）证明：点P在C上；‎ ‎（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）‎ 数学(文)试题 答案解析:‎ 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1、(5分) D　‎ M∩N＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}，‎ 又∵U＝{1，2，3，4}，∴(M∩N)＝{1，4}．‎ ‎2、(5分) B　‎ 由 (x≥0)得 (y≥0)，‎ ‎∴，∴反函数为 (x≥0)．‎ ‎3、(5分) B　‎ 由|a|＝|b|＝1，，‎ 得 ‎.‎ ‎4、(5分) C　‎ 由x，y的约束条件画出可行域如图：‎ 设l0：，‎ 则过A点时，z的值最小．‎ 由得A(1，1)，‎ ‎∴zmin＝2×1＋3×1＝5. ‎ ‎5、(5分) A　‎ A项中a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．‎ ‎6、(5分) D　‎ 由Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋1＋ak＋2＝24，‎ ‎∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24.‎ 又a1＝1，d＝2，∴k＝5. ‎ ‎7、(5分) C　‎ 由题意得：为函数f(x)＝cosωx的最小正周期的正整数倍，∴ (k∈N*)，‎ ‎∴ω＝6k(k∈N*)，∴ω的最小值为6. ‎ ‎8、(5分) C　‎ 如图，AB＝2，AC＝BD＝1，连结BC，则△ABC为直角三角形，‎ ‎∴.‎ 又△BCD为直角三角形，‎ ‎ ∴.‎ ‎9、(5分) B　‎ 先从4人中选2人选修甲课程，有种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有种方法．‎ ‎10、(5分) A　‎ ‎∵f(x)是周期为2的奇函数，‎ ‎∴‎ ‎11、(5分) C　‎ 由题意可设两圆的方程均为：(x－r)2＋(y－r)2＝r2.‎ 将(4，1)代入，可得：(4－r)2＋(1－r)2＝r2，‎ ‎∴r2－10r＋17＝0.∴此方程两根r1，r2分别为两圆半径，‎ ‎∴两圆心的距离 ‎12、(5分) D　‎ 由题意可得截面图形．‎ ‎∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2.‎ ‎∵α与β所成二面角为60°，‎ ‎∴∠BMC＝60°.‎ 在△OMB中，∠OMB＝90°，MB＝2，OB＝4，∴∠OBM＝60°.‎ ‎∴OB∥CD，.‎ 在△OMN中，∠OMN＝30°，，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴圆N的面积为.‎ 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)‎ ‎13、(5分) 0‎ 解析：(1－x)10的通项公式.‎ ‎∴，，‎ ‎∴系数之差为.‎ ‎14、(5分) ‎ 解析：∵α∈(π，)，tanα＝2，‎ ‎∴.又sin2α＋cos2α＝1，∴5cos2α＝1，‎ ‎∴.‎ ‎15、(5分) ‎ 解析：如图，连结DE.∵AD∥BC，‎ ‎∴AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即∠EAD.‎ 设正方体棱长为a，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎16、(5分) 6‎ 解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，‎ ‎∴|F1M|＝8，|MF2|＝4.‎ 由内角平分线定理得：‎ ‎，‎ 又|AF1|－|AF2|＝2a＝2×3＝6，‎ ‎∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6. ‎ 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)‎ ‎17、(10分) 解：设{an}的公比为q，由题设得 解得或 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；‎ 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. ‎ ‎18、(12分) 解：（1）由正弦定理得.‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.‎ 故，因此B＝45°.‎ ‎（2） sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.‎ 故，‎ ‎.‎ ‎19、(12分) 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；‎ B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；‎ C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；‎ D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．‎ ‎（1）P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，‎ P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.‎ ‎（2） ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，‎ P(E)＝×0.2×0.82＝0.384. ‎ ‎20、(12分) ‎ 解法一：‎ ‎（1）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.‎ 连结SE，‎ 则SE⊥AB，.‎ 又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，‎ 所以∠DSE为直角．‎ 由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.‎ SD与两条相交直线AB、SE都垂直．‎ 所以SD⊥平面SAB.‎ ‎（2）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.‎ 作SF⊥DE，垂足为F，‎ 则SF⊥平面ABCD，.‎ 作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.‎ 连结SG，则SG⊥BC.‎ 又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG.‎ 作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.‎ ‎，即F到平面SBC的距离为.‎ 由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.‎ 设AB与平面SBC所成的角为α，‎ 则，.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.‎ 设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．‎ 又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，‎ ‎（1） ＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，‎ 由得 ‎，‎ 故x＝1.‎ 由得y2＋z2＝1，‎ 又由得x2＋(y－2)2＋z2＝4，‎ 即y2＋z2－4y＋1＝0，故，.‎ 于是，，，，，.‎ 故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，‎ 所以SD⊥平面SAB.‎ ‎（2）设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，‎ 则，，，.‎ 又，，‎ 故 取p＝2得．又，‎ ‎.‎ 故AB与平面SBC所成的角为.‎ ‎21、(12分) 解：（1）f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.‎ 由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a，得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，‎ 由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)．‎ ‎（2）由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0.‎ ‎①当时，f(x)没有极小值；‎ ‎②当或时，由f′(x)＝0，得 ‎，，‎ 故x0＝x2.由题设知1＜－a＋＜3.‎ 当时，不等式无解；‎ 当时，解不等式，‎ 得.‎ 综合①②得a的取值范围是(，)．‎ ‎22、(12分) 解：（1）F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.‎ 所以点P的坐标为．‎ 经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C上．‎ ‎（2）由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①‎ 设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②‎ 由①②得l1、l2的交点为N，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故|NP|＝|NA|.‎ 又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，‎ 所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，‎ 由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．‎