2008高考北京数学文科试题及详细解答

2008高考北京数学文科试题及详细解答

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数 学（文科）‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ 1．若集合，，则集合等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 解：，选D ‎2．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：利用中间值0和1来比较: ‎ ‎3．“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：“双曲线的方程为”“双曲线的准线方程为”‎ ‎ 但是“准线方程为” “双曲线的方程”,反例: .‎ ‎4．已知中，，，，那么角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：由正弦定理得: ‎ ‎ ‎ ‎5．函数的反函数为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 解：‎ ‎ 所以反函数为 ‎6．若实数满足则的最小值是（ ）‎ A．0 B． C．1 D．2‎ 解：可行域是以为顶点的三角形（如图），‎ ‎，时取最小值0。‎ ‎7．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）‎ A．30 B．‎45 ‎ C．90 D．186‎ 解：由, ‎ ‎ 所以 ‎8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）‎ A B C D M N P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x A．‎ O y x B．‎ O y x C．‎ O y x D．‎ O 解：取的中点E, 的中点F,连EF,则在平面内平行移动且当P移动到的中心时，MN有唯一的最大值，排除答案A、C；当P点移动时，由于总保持所以x与y的关系是线性的(例如: 取当时,同理,当 时,有 )排除答案D,故选B.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．‎ ‎9．若角的终边经过点，则的值为 ． ‎ 解：‎ ‎10．不等式的解集是 ． ‎ 解：‎ ‎11．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ． ‎ 解：‎ ‎12．的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）‎ 解：由得故展开式中常数项为 取即得各项系数之和为 ‎2‎ B C A y x ‎1‎ O ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎13．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数 ．‎ 解： ；‎ 由导数的几何意义知.‎ ‎14．已知函数，对于上的任意，有如下条件：①； ②； ③．其中能使恒成立的条件序号是 ．‎ 解：函数是偶函数，，排除①③，选②‎ ‎三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知函数（）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ 因为，所以，所以．‎ 因此，即的取值范围为．‎ ‎16．（本小题共14分）‎ 如图，在三棱锥中，，，，．‎ A C B P ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ 解：解法一：‎ A C B D P ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎，平面．‎ 平面，．‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎．‎ 又，．‎ 又，即，且，‎ 平面．‎ A C B E P 取中点．连结．‎ ‎，．‎ 是在平面内的射影，‎ ‎．‎ 是二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ ‎．二面角的大小为．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ），，．‎ 又，．，平面．‎ A C B P z x y E 平面，．‎ ‎（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．‎ 则．‎ 设．，，．‎ 取中点，连结．‎ ‎，，，．‎ 是二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎．二面角的大小为．‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 已知函数，且是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间．‎ 解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，‎ 所以，对任意的，，即．‎ 又所以．‎ 所以解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．‎ 当时，由得．变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增．‎ 当时，，所以函数在上单调递增．‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．‎ 解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，‎ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．‎ 设两点坐标分别为．‎ 由 得．‎ 所以．‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，‎ 所以．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，‎ 所以．‎ 又因为的长等于点到直线的距离，即．‎ 所以．‎ 所以当时，边最长，（这时）‎ 此时所在直线的方程为．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 数列满足，（），是常数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求及的值；‎ ‎（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．‎ 解：（Ⅰ）由于，且．‎ 所以当时，得，故．‎ 从而．‎ ‎（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，‎ 得，，．‎ 若存在，使为等差数列，则，即，‎ 解得．于是，．‎ 这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．‎ ‎（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即 且，这时总存在，满足：当时，；‎ 当时，．所以由及可知，若为偶数，‎ 则，从而当时，；若为奇数，则，‎ 从而当时．因此“存在，当时总有”‎ 的充分必要条件是：为偶数，‎ 记，则满足．‎ 故的取值范围是．‎