千题百炼——高考数学100个热点问题二第47炼 多变量表达式范围——放缩消元法

千题百炼——高考数学100个热点问题二第47炼 多变量表达式范围——放缩消元法

第47炼 多变量表达式的范围——放缩消元法 一、基础知识：‎ ‎ 在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值 ‎1、放缩法求最值的理论基础：‎ ‎ 不等式的传递性：若，则 ‎ ‎2、常见的放缩消元手段：‎ ‎（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元 ‎（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果 ‎（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 ‎（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。‎ ‎3、放缩消元过程中要注意的地方：‎ ‎（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致 ‎（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于 的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到。同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到 ‎（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去 二、典型例题：‎ 例1：设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为____________‎ 思路：考虑分别求出的最大值与最小值，先求的最大值，只需取最小，取最大：即 ，再求的最小值，由可知利用进行放缩，从而消去，可得：，再利用均值不等式可得：，所以的最小值，从而 ‎ 答案： ‎ 例2：已知是任意三点，，则的最小值是_______‎ 思路：因为，所以结合不等号的方向可将消去，从而转化为关于的表达式：，然后可从出发，构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值：，从而有：，所以 答案： ‎ 例3：设实数满足，则的最大值为__________‎ 思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，‎ 所以的最大值为，其中等号成立条件为： ‎ 答案：‎ 小炼有话说：本题也可从入手，进行三角换元：，由可得，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去 即可得到最值：‎ 例4：已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由不等式恒成立可得：，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去，即，所以，对于该其次分式可两边同时除以，可得：，令由可知从而将问题转化为求的最小值。，从而 ‎ 答案：D 小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元，如果选择，则因分式中含的项较多，消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是关键 例5（2010，四川）设，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即，从而消去了，得，然后根据分母特征：构造，由均值不等式得：，验证等号成立条件：，从而最小值为 答案：D 小炼有话说：本题在处理的最值时还可以从分式入手：，从而对分母利用均值不等式：消去，所以 例6：已知正数满足，则的最小值是_______‎ 思路：所求表达式涉及3个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的可与条件中的具备不等关系，而可用表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于的表达式求得最值 解：，因为 ‎ 所以有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（等号成立条件： ）‎ 例7：设，且，则的最大值是____________ ‎ 思路：本题虽然有3个变量，但可通过进行消元，观察所求式子项的次数可知消去更方便，从而可得。然后可使用“主元法”进行处理，将视为主元，即但本题要注意的取值范围与相关，即，通过配方（或求导）可知的最大值在边界处取得，即，，从而达到消去的效果，再求出中的最大值即可 解： ‎ 设 ‎ ‎ 为的极小值点 ‎ 其中 设 若 ‎ 可得：‎ 例8：已知函数 ‎ ‎（1）求的解析式及单调区间 ‎（2）若不等式恒成立，求的最大值 解：（1），代入可得：‎ ‎ ‎ ‎，令可得： ‎ ‎ ‎ ‎，可知 ‎ 在上单调递增 时， ‎ 时，‎ 在单调递减，在单调递增 ‎（2）恒成立的不等式为：即 ‎ 设 ‎ ‎ ‎，令，即解不等式 ‎ 若，可解得 ‎ 在单调递减，在单调递增 ‎ ‎ 下面求的最大值 令，设 ‎ ‎ ‎ 令，可解得 ‎ 在单调递增，在单调递减 ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，可得 ‎ 当时， 为增函数 且时， ，，与恒成立矛盾 综上所述：的最大值为 ‎ 例9：已知函数，求的最小值 思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量存在二次函数的结构，所以考虑利用“主元法”，将视为自变量，视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去，从而得到关于的函数，然后求得最小值即可。‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 设，可知 ‎ 在单调递减，在单调递增 ‎ 恒成立 令，即解不等式 在单调递减，在单调递增 即的最小值为 例10：已知函数 ‎（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求 ‎（2）设，若对恒成立，求的取值范围 解：（1）‎ ‎① 当时，可得 ‎ 在单调递增 ‎② 当时，‎ 可得：在单调递减，在单调递增 由可知：‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎③ 当时， ‎ 可得在单调递减 综上所述：‎ ‎（2）不妨设 由恒成立可知：恒成立 即对任意的恒成立 且即且 ‎① 当时，由（1）可知 ‎ 无解 ‎② 当，‎ ‎，即 即 ‎ 另一方面：‎ 设恒成立 在单调递增 ‎③当，‎ ‎，即 解得：‎ 设恒成立 在单调递增 ‎④ 当时，‎ ‎ ‎ 综上所述：‎