数学高考复习课时提能演练 空间向量及其运算人教A选修

数学高考复习课时提能演练 空间向量及其运算人教A选修

课时提能演练48 3.1 空间向量及其运算（人教A版选修 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1.如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ ‎(A)－a＋b＋c　　　　　(B)a＋b＋c ‎(C)a－b＋c (D)－a－b＋c ‎2.(2012·上海模拟)在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　) ‎ ‎(A)　　　　 　(B) ‎(C) (D) ‎3.有以下命题：‎ ‎①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；‎ ‎②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；‎ ‎③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底.其中正确的命题是(　　)‎ ‎(A)①②　　(B)①③　　(C)②③　　(D)①②③‎ ‎4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，‎ ‎·＝0，·＝0，则△BCD的形状是(　　)‎ ‎(A)钝角三角形 (B)直角三角形 ‎(C)锐角三角形 (D)无法确定 ‎5.已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点(如图)，则＝(＋＋)是O为△BCD重心的(　　) ‎ ‎(A)充分不必要条件 ‎(B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分又不必要条件 ‎6.(2012·青岛模拟)正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7.(2012·佛山模拟)若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＋q＝　　　.‎ ‎8.已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝　　　.‎ ‎9.(2012·长沙模拟)空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于　　　　.‎ 三、解答题(每小题15分，共30分)‎ ‎10.(易错题)已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).‎ ‎(1)求|‎2a＋b|；‎ ‎(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)‎ ‎11.(2012·襄阳模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A‎1A的中点.‎ ‎(1)求的模；‎ ‎(2)求cos〈，〉的值；‎ ‎(3)求证：A1B⊥C‎1M.‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)在棱长为1的正四面体OABC中，若P是底面ABC上的一点，求|OP|的最小值.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选A.＝＋＝＋ ‎＝c＋(－)＝c＋(b－a)‎ ‎＝－a＋b＋c.‎ ‎【变式备选】已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E为上底面A‎1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为(　　)‎ ‎(A)x＝1，y＝1 (B)x＝1，y＝ ‎(C)x＝，y＝ (D)x＝，y＝1‎ ‎【解析】选C.‎ 如图，＝＋‎ ‎＝＋＝＋‎ (＋)，‎ 所以x＝，y＝.‎ ‎2.【解析】选B.设正方体的棱长为2，以D为原点建立 如图所示空间坐标系，则＝(2，－2,1)，‎ ‎＝(2,2，－1)，‎ ‎∴cos〈，〉＝－，‎ ‎∴sin〈，〉＝.‎ ‎3. 【解析】选C.对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确.‎ ‎4. 【解题指南】通过·，·，·的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状.‎ ‎【解析】选C.·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－·－·＋2＝2>0，‎ 同理·>0，·>0.故△BCD为锐角三角形.‎ ‎5. 【解析】选C.若O是△BCD的重心，则＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋)＝＋(－＋－)‎ ‎＝(＋＋)，‎ 若＝(＋＋)，‎ 则－＋－＋－＝0，‎ 即＋＋＝0.‎ 设BC的中点为P，则－2＋＝0，‎ ‎∴＝－2，即O为△BCD的重心.‎ ‎6. 【解析】选A.如图，设＝a，‎ ‎＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0. ‎ 由条件知＝＋＋‎ ‎＝－(a＋b＋c)＋a＋c ‎＝a－b＋c ‎∴2＝a2＋b2＋c2＝，‎ ‎∴||＝.‎ ‎7.【解析】＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)‎ 由题设＝λ.∴，‎ ‎∴p＋q＝5.‎ 答案：5‎ ‎8.【解析】∵A，B，C，D四点共面，‎ ‎∴＝m＋n＋p，且m＋n＋p＝1.‎ 由条件知＝－2x－3y－4z，‎ ‎∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1.‎ ‎∴2x＋3y＋4z＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9.【解析】由题意知·＝·(－)＝·－·‎ ‎＝8×4×cos45°－8×6×cos60°＝16－24.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎∴OA与BC所成角的余弦值为.‎ 答案： ‎【误区警示】本题常误认为〈，〉即为OA与BC所成的角.‎ ‎【变式备选】已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是　　　.‎ ‎【解析】设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，‎ ‎＝(－1－x,3－y,4－z)，‎ 由＝2知x＝－，y＝，z＝3，‎ 故P(－，，3).‎ 由两点间距离公式可得||＝.‎ 答案： ‎10.【解析】(1)‎2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，‎ 故|‎2a＋b|＝＝5.‎ ‎(2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，‎ 若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.‎ 因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，).‎ ‎【变式备选】已知b与a＝(2，－1,2)共线，且满足a·b＝18，(ka＋b)⊥(ka－b)，求b及k的值.‎ ‎【解析】∵a，b共线，‎ ‎∴存在实数λ，使b＝λa.‎ ‎∴a·b＝λa2＝λ|a|2＝λ( ) 2＝18，‎ 解得λ＝2.‎ ‎∴b＝(4，－2,4).‎ ‎∵(ka＋b)⊥(ka－b)，∴(ka＋b)·(k a－b)＝0，‎ ‎∴(ka＋‎2a)·(k a－‎2a)＝(k2－4)|a|2＝0，‎ ‎∴k＝±2.‎ ‎11.【解析】如图，建立空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，‎ ‎∴||＝＝.‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)，‎ ‎∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，‎ ‎||＝，||＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ ‎(3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，，2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0).‎ ‎∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥.‎ ‎∴A1B⊥C‎1M.‎ ‎【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法 ‎(1)常见类型 利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题.‎ ‎(2)常用的解题方法 ‎①基向量法 先选择一组基向量，把其他向量都用基向量表示，然后根据向量的运算解题；‎ ‎②坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标，根据向量的坐标运算解题即可.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解题指南】向量，，的模均为1，其夹角都是60°，故选取，，当基底，利用向量的运算求||的最小值.‎ ‎【解析】设＝a，＝b，＝c，‎ 由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ ‎〈a， b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∵点P在平面ABC上，‎ ‎∴存在实数x，y，z，‎ 使＝x a＋y b＋z c，且x＋y＋z＝1，‎ ‎∴2＝(x a＋y b＋z c)2‎ ‎＝x2＋y2＋z2＋2xy a·b＋2yz b·c＋2xz a·c ‎＝x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx ‎＝(x＋y＋z)2－(xy＋yz＋zx)＝1－(xy＋yz＋zx)‎ ‎∵1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx ‎＝[(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)]＋2xy＋2yz＋2zx ‎≥(2xy＋2yz＋2zx)＋2xy＋2yz＋2zx ‎＝3(xy＋yz＋zx)，∴xy＋yz＋zx≤，‎ 当且仅当x＝y＝z＝时“＝”成立.‎ ‎∴2≥1－＝，∴||≥＝，‎ ‎∴|OP|的最小值为.‎ ‎ ‎