2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

绝密★启用前 ‎2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释）‎ ‎1．已知集合,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若为实数,且,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）‎ A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 ‎ B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 ‎ C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 ‎ D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 ‎4．已知,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设是等差数列的前项和,若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎7．已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为（ ）‎ ‎ ‎ ‎8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为（ ）‎ ‎ ‎ ‎9．已知等比数列满足,,则（ ）‎ ‎ ‎ ‎10．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥 体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为（ ）‎ ‎12．设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（题型注释）‎ ‎13．已知函数的图像过点（-1,4）,则a= ．‎ ‎14．若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为 ．‎ ‎15．已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．‎ ‎16．已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= ．‎ 评卷人 得分 三、解答题（题型注释）‎ ‎17．（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎（Ⅰ）求 ；‎ ‎（Ⅱ）若,求.‎ ‎18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 B地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；‎ ‎（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为,点在C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设 均为正数,且.证明：‎ ‎（Ⅰ）若 ,则；‎ ‎（Ⅱ）是的充要条件.‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】‎ 因为,,所以故选A.‎ 考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算.‎ ‎2．D ‎【解析】由题意可得 ,故选D.‎ 考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.‎ ‎3． D ‎【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.‎ 考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 ‎4．C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.‎ 考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.‎ ‎5．A ‎【解析】‎ 试题解析：由,所有.故选A.‎ 考点：本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用.‎ ‎6．D ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.‎ 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.‎ ‎7．B ‎【解析】‎ 试题分析：△外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线上,设圆心D,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离. 故选B.‎ 考点：本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式.‎ ‎8．B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.‎ 考点：本题主要考查程序框图及更相减损术.‎ ‎9．C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.‎ 考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ 试题分析：设球的半径为R,则△AOB面积为,三棱锥 体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的表面积.故选C.‎ 考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.‎ ‎11．B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得,由此可排除C,D；当时点在边上，，，所以 ,可知时图像不是线段,可排除A,故选B.‎ 考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力.‎ ‎12．A ‎【解析】‎ 试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.‎ 考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法.‎ ‎13．-2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可得 .‎ 考点：本题主要考查利用函数解析式求值.‎ ‎14．8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时.‎ 考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为 ,把代入得.所以双曲线的方程为.‎ 考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.‎ ‎16．8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .‎ 考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.‎ ‎17．（Ⅰ）；（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,‎ 所以 ‎ 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以 由（I）知,‎ 所以 ‎ 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.‎ ‎18．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.（II）由直方图得 的估计值为, 的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.‎ ‎（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.‎ 由直方图得 的估计值为,‎ ‎ 的估计值为,‎ 所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计.‎ ‎19．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ） 或 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分别在上取H,G,使；长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为 或 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）交线围成的正方形如图：‎ ‎（Ⅱ）作 垂足为M,则,,,因为是正方形,所以,于是 ‎ 因为长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为 （也正确）.‎ 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.‎ ‎20．（Ⅰ）（Ⅱ）见试题解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由 求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有 解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线,,把代入 得 故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ ‎21．（Ⅰ）,在是单调递增；,在单调递增,在 单调递减；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.‎ ‎22．（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）要证明, 可证明；（Ⅱ）‎ 先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由于△ABC是等腰三角形, 所以AD是的平分线,又因为圆O与AB,AC分别相切于E,F,所以,故,所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,则,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为,所以 因为 所以OD=1,于是AD=5, 所以四边形DBCF的面积为 ‎ 考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.‎ ‎23．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线极坐标方程为进一步求出点A的极坐标为,点B的极坐标为,,由此可得.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得 或,所以与交点的直角坐标.‎ ‎（Ⅱ）曲线极坐标方程为其中 ,因此点A的极坐标为 ‎,点B的极坐标为,‎ 所以,当时取得最大值,最大值为4.‎ 考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.‎ ‎24．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由及,可证明,开方即得.（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ 由题设,,得,因此.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）若,则,即 因为,所以,由（Ⅰ）得.‎ ‎（ⅱ）若,则,即因为,所以,‎ 于是因此,综上是的充要条件.‎ 考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.‎