全国高考理科数学试题及答案江西

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全国高考理科数学试题及答案江西

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟。‎ 考生注意:‎ ‎ 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上所粘贴的条形码中准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名、考试科目是否一致。‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。‎ ‎3.考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。‎ 参考公式:‎ 样本数据的线性相关系数 ‎ 锥体体积公式 ‎ 其中 其中为底面积,为高 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若,则复数 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若集合,则 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎3.若,则的定义域为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若,则的解集为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知数列{}的前n项和满足:,且=1.那么=‎ ‎ A.1 B.9 C.10 D.55‎ ‎6.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.观察下列各式:=3125,=15625,=78125,…,则的末四位数字为 ‎ A.3125 B.5625 C.0625 D.8125‎ ‎8.已知,,是三个相互平行的平面.平面,之间的距离为,平面,之间的距离为.直线与,,分别相交于,,,那么“=”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.若曲线:与曲线:有四个不同的交点,则实数m的取值范围是 ‎ A.(,) B.(,0)∪(0,)‎ ‎ C.[,] D.(,)∪(,+)‎ ‎10.如右图,一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小 圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大 致是 第Ⅱ卷 注意事项:‎ 第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎11.已知,·=-2,则与的夹角为 ‎ ‎12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于,则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为 ‎ ‎13.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 ‎ ‎14.若椭圆的焦点在轴上,过点(1,)作圆的切线,切点分别为A,B,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 ‎ 三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分。本题共5分。‎ ‎15.(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎15.(2)(不等式选做题)对于实数,若的最大值为 ‎ 四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以使确定工资级别,公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料,若4杯都选对,则月工资定为3500元,若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.‎ ‎ (1)求X的分布列;‎ ‎ (2)求此员工月工资的期望。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中,角的对边分别是,已知.‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)若,求边的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知两个等比数列,满足.‎ ‎ (1)若,求数列的通项公式;‎ ‎ (2)若数列唯一,求的值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 设 ‎ (1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;‎ ‎ (2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 是双曲线上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.‎ ‎ (1)求双曲线的离心率;‎ ‎ (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足,求的值.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ (1)如图,对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面,,,,使得,且其中每相邻两个平面间的距离都相等;‎ ‎ (2)给定依次排列的四个相互平行的平面,,,,其中每相邻两个平面间的距离都为1,若一个正四面体的四个顶点满足:‎ ‎,求该正四面体的体积.‎ 参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。‎ ‎1—5 DBACA 6—10 CDCBA 二、填空题;本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎11.‎ ‎12.‎ ‎13.10‎ ‎14.‎ 三、选做题:本大题5分。‎ ‎15.(1)‎ ‎ (2)5‎ 四、解答题:本大题共6小题,共75分。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 解:(1)X的所有可能取值为:0,1,2,3,4‎ 即 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ (2)令Y表示新录用员工的月工资,则Y的所有可能取值为2100,2800,3500‎ 所以新录用员工月工资的期望为2280元.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解:(1)由已知得 即 由 同边平方得:‎ ‎ (2)由,‎ 即 由 由余弦定理得 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ (1)设的公比为q,则 由成等比数列得 即 所以的通项公式为 ‎ (2)设的公比为q,则由 得 由,故方程(*)有两个不同的实根 由唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(1)由 当 令 所以,当上存在单调递增区间 ‎ (2)令 所以上单调递减,在上单调递增 当在[1,4]上的最大值为 又 所以在[1,4]上的最小值为 得,从而在[1,4]上的最大值为 ‎20.(本小题满分13分)‎ 解:(1)点在双曲线上,‎ 有 由题意又有 可得 ‎ (2)联立设 则 ………………(1)‎ 设 又C为双曲线上一点,即 有 化简得: …………(2)‎ 又在双曲线上,所以 由(1)式又有 得:‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ (1)如图所示,取A1A4的三等分点P2,P3,A1A3的中点M,‎ A2A4的中点N,过三点A2,P2,M作平面,过三点A3,‎ P3,N作平面,因为A2P2//NP3,A3P3//MP2,所以平面 ‎//平面,再过点A1,A4分别作平面与平面 平行,那么四个平面依次相互平行,由线段 A1A4被平行平面截得的线段相等知,其中 每相邻两个平面间的距离相等,故为所求平面。‎ ‎ (2)解法一:当(1)中的四面体为正四面体,若所得的四个平行平面,每相邻两平面之间的距离为1,则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体,设正四面体的棱长为a,以△A2A3A4的中心O为坐标原点,以直线A4O为y轴,直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系,‎ 令P2,P3为A1A4的三等分点,N为A2A4的中点,有 设平面A3P3N的法向量 有 所以,‎ 因为相邻平面之间的距离为1,所以点A4到平面A3P3N的距离 解得,由此可得,边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件。‎ 所以所求正四面体的体积 ‎ ‎ ‎ 解法二:如图,现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B1C1D1中,(或者说,在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥,得到一个正方体),E1,F1分别是A1B1,C1D1的中点,EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面,若其距离为1,则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面,现设正方体的棱长为a,若A1M=MN=1,则有 ‎ ‎ ‎ 据A1D1×A1E1=A1M×D1E1,得,‎ ‎ 于是正四面体的棱长 ‎ 其体积 ‎ (即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积)‎
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