全国高考文科数学试题及答案新课标1

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绝密★启封并使用完毕前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作 答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 （1）已知集合 A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合 A B 中元素的个数为 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （2）已知点 A（0,1），B（3,2），向量 =（-4，-3），则向量 = （A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1，4） （3）已知复数 z 满足（z-1）i=i+1，则 z= （A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i （4）如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1，2， 3，4，5 中任取 3 个不同的数，则 3 个数构成一组勾股数的概率为 （A） （B） （C） （D） （5）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C：y²=8x 的焦点重合，A， B 是 C 的准线与 E 的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 ∈ ∩ AC BC 10 3 1 5 1 10 1 20 1 2 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角， 下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥 的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 （7）已知 是公差为 1 的等差数列， 则 =4 ， = （A） （B） （C）10 （D）12 （8）函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 （A）（k - , k - ）,k （A）（2k - , 2k - ）,k （A）（k - , k - ）,k （A）（2k - , 2k - ）,k （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）已知函数 ，且 f（a）=-3，则 f（6-a）= （A）- （B）- （C）- （D）- （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20π，则 r= 7 4 5 4 3 4 1 4 （A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 （12）设函数 y=f（x）的图像关于直线 y=-x 对称，且 f（-2）+f（-4）=1，则 a= （A）-1 （B）1 （C）2 （D）4 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 （13）在数列{an}中， a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126，则 n=. （14）已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则 a= . （15）x,y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为. （16）已知 F 是双曲线 C：x2- =1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0,6 ）.当△APF 周长 最小是，该三角形的面积为 8 2y 6 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分 12 分） 已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC （Ⅰ）若 a=b，求 cosB； （Ⅱ）设 B=90°，且 a= ，求△ABC 的面积 （18）（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD. （Ⅰ）证明：平面 AEC⊥平面 BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥—ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积 （19）（本小题满分 12 分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y （ 单 位 ： t ） 和 年 利 润 z （ 单 位 ： 千 元 ） 的 影 响 ， 对 近 8 年 的 年 宣 传 费 和 年 销 售 量 （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 2 3 6 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 = 1, ， = 1 （Ⅰ）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线 v= u 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为： x y w 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 2 1 ( )i i w w = −∑ 8 1 ( )( )i i i x x y y = − −∑ 8 1 ( )( )i i i w w y y = − −∑ x w 1 8 8 1i w = ∑ y a bx= + y c d x= + α β+ （20）（本小题满分 12 分） 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. （1） 求 K 的取值范围； （2） 若 · =12，其中 0 为坐标原点，求︱MN︱. （21）.（本小题满分 12 分） 设函数 。 （Ⅰ）讨论 的导函数 零点的个数； （Ⅱ）证明：当 时， 。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写 清题号。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙ 的直径，AC 是⊙ 的切线，BC 交⊙ 于点 E。 （Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙ 的切线； （Ⅱ）若 CA= CE，求∠ACB 的大小。 OM ON x ( )f x '( )f x 0a > 2( ) 2 lnf x a a a ≥ + O O O O 3 （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系 中。直线 : ，圆 ： ,以坐标原点为 极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I） 求 ， 的极坐标方程； （II） 若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的 面积 （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 6，求 的取值范围 xOy 1C 2x = − 2C ( ) ( )2 21 2 1x y− + − = x 1C 2C 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN ( ) | 1| 2 | |, 0f x x x a a= + − − > 1a = ( ) 1f x > ( )f x x a 2015 年文科数学参考答案 一．选择题 （1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二．填空题 （13）6 （14）1 （15）4 （16） 三．解答题 （17）解： （Ⅰ）由题设及正弦定理可得 又 ，可得 由余弦定理可得 …………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为 ，由勾股定理得 故 ，得 所以 的面积为 1…………………………………………………………12 分 （18）解： （Ⅰ）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 因为 平面 ，所以 ，故 平面 又 平面 ，所以平面 平面 …………………………5 分 （Ⅱ）设 ，在菱形 中，由 ，可得 因为 ，所以在 中，可得 12 6 2 2b ac= a b= 2 , 2b c a c= = 2 2 2 1cos 2 4 a c bB ac + −= = 2 2b ac= 90B =  2 2 2a c b+ = 2 2 2a c ac+ = 2c a= = ABC AC BD⊥ BE ⊥ ABCD AC BE⊥ AC ⊥ BED AC ⊂ AEC AEC ⊥ BED AB x= ABCD 120ABC∠ =  3 ,2 2 xAG GC x GB GD= = = = AE EC⊥ Rt AEC 3 2EG x= 由 平面 ，知 为直角三角形，可得 由已知得，三棱锥 的体积 故 …………………………………………………………………………9 分 从而可得 所以 的面积为 3， 的面积与 的面积均为 故三棱锥 的侧面积为 ……………………………………12 分 （19）解： （Ⅰ）由散点图可以判断， 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类 型………………2 分 （Ⅱ）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 所以 关于 的线性回归方程为 ，因此 关于 的线性回归方程 …………………………………………6 分 （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 时，年销售量 的预报值 年利润 的预报值 …………………………………9 分 （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润 的预报值 BE ⊥ ABCD EBG 2 2BE x= E ACD− 31 1 6 6 3 2 24 3E ACDV AC GD BE x− = × = =  2x = 6AE EC ED= = = EAC EAD ECD 5 E ACD− 3 2 5+ y c d x= + y x w x= y w 8 ^ 1 8 2 1 ( )( ) 108.8 681.6( ) i i i i i w w y y d w w = = − − = = = − ∑ ∑ ^ ^ 563 68 6.8 100.6c y d w= − = − × = y w ^ 100.6 68y w= + y x ^ 100.6 68y x= + 49x = y ^ 100.6 68 49 576.6y = + = z ^ 576.6 0.2 49 66.32z = × − = z ^ 0.2(100.6 68 ) 13.6 20.12z x x x x= + − = − + + 所以，当 ，即 时， 取得最大值， 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大……………12 分 （20）解： （Ⅰ）由题设，可知直线 的方程为 因为 与 交于两点，所以 解得 所以 的取值范围为 ……………………………………5 分 （Ⅱ）设 将 代入方程 ，整理得 所以 …………………………………………7 分 由题设可得 ，解得 ，所以 的方程为 故圆心 在 上，所以 …………………………………………………12 分 （21）解： （Ⅰ） 的定义域为 ， 当 时， ， 没有零点； 当 时 ， 因 为 单 调 递 增 ， 单 调 递 增 ， 所 以 在 单 调 递 增 ， 又 13.6 6.82x = = 46.24x = ^ z l 1y kx= + l C 2 | 2 3 1| 1 1 k k − + < + 4 7 4 7 3 3k − +< < k 4 7 4 7( , )3 3 − + 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1y kx= + 2 2( 2) ( 3) 1x y− + − = 2 2(1 ) 4(1 ) 7 0k x k x+ − + + = 1 2 1 22 2 4(1 ) 7,1 1 kx x x xk k ++ = =+ + 1 2 1 2OM ON x x y y= +   2 1 2 1 2(1 ) ( ) 1k x x k x x= + + + + 2 4 (1 ) 81 k k k += ++ 2 4 (1 ) 8 121 k k k + + =+ 1k = l 1y x= + C l | | 2MN = ( )f x (0, )+∞ 2( ) 2 ( 0)x af x e xx ′ = − > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x′ 0a > 2xe a x − ( )f x′ (0, )+∞ ， 当 满 足 且 时 ， ， 故 当 时 ， 存 在 唯 一 零 点………6 分 （ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ），可 设 在 的 唯 一 零 点 为 ， 当 时 ， ； 当 时， 故 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值， 最小值为 由于 ，所以 故当 时， ……………………………………………12 分 （22）解： （Ⅰ）连结 ，由已知得， 在 中，由已知得， ，故 连结 ，则 又 ，所以 ， 故 ， 是 的切线……………………………………5 分 （Ⅱ）设 ，由已知得 由射影定理可得， ，所以 ，即 可得 ，所以 ……………………………10 分 （23）解： （Ⅰ）因为 ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方 程为 ……………………………5 分 （ Ⅱ ） 将 代 入 ， 得 ， 解 得 ，故 ，即 ( ) 0f a′ > b 0 4 ab< < 1 4b < ( ) 0f b′ < 0a > ( )f x′ ( )f x′ (0, )+∞ 0x 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 0(0, )x 0( , )x +∞ 0x x= ( )f x 0( )f x 02 0 2 0x ae x − = 0 0 0 2 2( ) 2 ln 2 ln2 af x ax a a ax a a = + + ≥ + 0a > 2( ) 2 lnf x a a a ≥ + AE ,AE BC AC AB⊥ ⊥ Rt AEC DE DC= DEC DCE∠ = ∠ OE OBE OEB∠ = ∠ 90ACB ABC∠ + ∠ =  90DEC OEB∠ + ∠ =  90OED∠ =  DE O 1,CE AE x= = 22 3, 12AB BE x= = − 2AE CE BE=  2 212x x= − 4 2 12 0x x+ − = 3x = 60ACB∠ =  cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 4 πθ = 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 22 2, 2ρ ρ= = 1 2 2ρ ρ− = | | 2MN = 由于 的半径为 1，所以 的面积为 ………………………10 分 （24）解： （Ⅰ）当 时， 化为 当 时，不等式化为 ，无解； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 所以 的解集为 …………………5 分 （Ⅱ）由题设可得， 所 以 函 数 的 图 像 与 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为 ， ， ， 的面积为 由题设得 ，故 所以 的取值范围为 ………………………………10 分 2C 2C MN 1 2 1a = ( ) 1f x > | 1| 2 | 1| 1 0x x+ − − − > 1x ≤ − 4 0x − > 1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< < 1x ≥ 2 0x− + > 1 2x≤ < ( ) 1f x > 2{ | 2}3x x< < 1 2 , 1, ( ) 3 1 2 , 1 , 1 2 , . x a x f x x a x a x a x a − − < − = + − − ≤ ≤ − + + > ( )f x x 2 1( ,0)3 aA − (2 1,0)B a + ( , 1)C a a + ABC 22 ( 1)3 a + 22 ( 1) 63 a + > 2a > a (2, )+∞