2018年全国高考新课标1卷文科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A∩B=
A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{-2,-1,0,1,2}
解析：选A
2．设z=+2i，则|z|=
A．0 B． C．1 D．
解析：选C z=+2i=-i+2i=i
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A
4．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为
A． B． C． D．
解析：选C ∵ c=2，4=a2-4 ∴a=2 ∴e=
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．12π B．12π C．8π D．10π
解析：选B 设底面半径为R,则(2R)2=8 ∴R=,圆柱表面积=2πR×2R+2πR2=12π
6．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x
解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x3+x f′(x)=3x2+1 f′(0)=1 故选D
7．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
A． - B． - C． + D． +
解析：选A 结合图形，=- (+)=- -=- -(-)= -
8．已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2，则
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x) 的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x) 的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B f(x)= cos2x+ 故选B
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．2 B．2 C．3 D．2
解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为300，则该长方体的体积为
A．8 B．6 C．8 D．8
解析：选C ∵AC1与平面BB1C1C所成的角为300 ，AB=2 ∴AC1=4 BC1=2 BC=2 ∴CC1=2
V=2×2×2=8
11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=，则|a-b|=
A． B． C． D．1
解析：选B ∵cos2α= 2cos2α-1= cos2α= ∴sin2α= ∴tan2α=
又|tanα|=|a-b| ∴|a-b|=
12．设函数f(x)= ，则满足f(x+1)< f(2x)的x的取值范围是
A．(-∞,-1] B．(0,+ ∞) C．(-1,0) D．(-∞,0)
解析：选D x≤-1时，不等式等价于2-x-1<2-2x,解得x<1,此时x≤-1满足条件
-1
0时，1<1不成立 故选D
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f(x)=log2(x2+a)，若f(3)=1，则a=________．
解析：log2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-7
14．若x，y满足约束条件，则z=3z+2y的最大值为_____________．
解析：答案为6
15．直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点，则|AB|=________．
解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=,|AB|=2=2
16．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为________．
解析：由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC得2sinBsinC=4sinAsinBsinC ∴sinA=
由余弦定理及b2+c2-a2=8得2bccosA=8,则A为锐角，cosA=, ∴bc=
∴S=bcsinA=
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)an，设bn=．
（1）求b1,b2,b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
解：（1）由条件可得an+1=an．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得=，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1．
18．（12分）
如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=900，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积．
18．解：（1）由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC．
又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC．
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3．
又BP=DQ=DA，所以BP=2．
作QE⊥AC，垂足为E，则QE//DC，且QE=DC．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱锥Q-ABP的体积为V=×QE×SΔABP=×1××3×2×sin450=1
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
解：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
=(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
=(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3)．
20．（12分）
设抛物线C:y2=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为y=x+1或y=- x-1．
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-2)( (k≠0))，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
代y=k(x-2)入y2=2x消去x得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为kBM+kBN=+=．①
将x1=+2，x2=+2及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1+x1y2+2(y1+y2)= = =0
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以，∠ABM=∠ABN．
21．（12分）
已知函数f(x)=aex-lnx-1．
（1）设x=2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间；
（2）证明：当a≥时，f(x)≥0．
解：（1）f（x）的定义域为(0,+∞)，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=ex-lnx-1，f ′（x）=ex- ．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥ -lnx-1．
设g（x）= -lnx-1，则g ′（x）= –
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当a≥时，f(x)≥0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以=2，故k= - 或k=0．
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= - 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以=2，故k=0或k=- ．
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= 时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y= - |x|+2．
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.
解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)．
（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；
若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]．
综上，a的取值范围为(0,2]．
