2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版

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2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版

‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ‎(四川卷)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.(2013四川,理1)设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2-4=0},则A∩B=(  ).‎ A.{-2} B.{2}‎ C.{-2,2} D.‎ ‎2.(2013四川,理2)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是(  ).‎ A.A B.B C.C D.D ‎3.(2013四川,理3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(  ).‎ ‎ ‎ ‎4.(2013四川,理4)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:x∈A,2x∈B,则(  ).‎ A.p:x∈A,2xB B.p:xA,2xB C.p:xA,2x∈B D.p:x∈A,2xB ‎5.(2013四川,理5)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(  ).‎ A.2, ‎ B.2,‎ C.4, ‎ D.4,‎ ‎6.(2013四川,理6)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是(  ).‎ A. B. C.1 D.‎ ‎7.(2013四川,理7)函数的图象大致是(  ).‎ ‎8.(2013四川,理8)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是(  ).‎ A.9 B.‎10 C.18 D.20‎ ‎9.(2013四川,理9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(2013四川,理10)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是(  ).‎ A.[1,e] B.[e-1-1,1]‎ C.[1,e+1] D.[e-1-1,e+1]‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.(2013四川,理11)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是__________.(用数字作答)‎ ‎12.(2013四川,理12)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=__________.‎ ‎13.(2013四川,理13)设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是__________.‎ ‎14.(2013四川,理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是__________.‎ ‎15.(2013四川,理15)设P1,P2,…,Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…,Pn的距离之和最小,则称点P为点P1,P2,…,Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:‎ ‎①若三个点A,B,C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;‎ ‎②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;‎ ‎③若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一;‎ ‎④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.‎ 其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(2013四川,理16)(本小题满分12分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和.‎ ‎17.(2013四川,理17)(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=,‎ ‎(1)求cos A的值;‎ ‎(2)若,b=5,求向量在方向上的投影.‎ ‎18.(2013四川,理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大;‎ ‎(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.‎ ‎19.(2013四川,理19)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B‎1C1的中点,P是线段AD的中点.‎ ‎ (1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD‎1A1;‎ ‎(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A‎1M-N的余弦值.‎ ‎20.(2013四川,理20)(本小题满分13分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率;‎ ‎(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程.‎ ‎21.(2013四川,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.‎ ‎(1)指出函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;‎ ‎(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ‎(四川卷)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1. ‎ 答案:A 解析:由题意可得,A={-2},B={-2,2},‎ ‎∴A∩B={-2}.故选A.‎ ‎2.‎ 答案:B 解析:复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称.‎ ‎3. ‎ 答案:D 解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选D.‎ ‎4.‎ 答案:D ‎5. ‎ 答案:A 解析:由图象可得,,‎ ‎∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得,,‎ 令+φ=2kπ+,k∈Z,‎ 解得,φ=2kπ-,k∈Z,‎ 又∵φ∈,则取k=0,‎ ‎∴φ=.故选A.‎ ‎6. ‎ 答案:B 解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.‎ ‎7. ‎ 答案:C 解析:由函数解析式可得,该函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故排除A;取x=-1,y==>0,故再排除B;当x→+∞时,3x-1远远大于x3的值且都为正,故→0且大于0,故排除D,选C.‎ ‎8.‎ 答案:C 解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间Ω ‎={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有20个基本事件,而lg a-lg b=,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使的值相等,则不同值的个数为20-2=18(个),故选C.‎ ‎9. ‎ 答案:C 解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率.‎ ‎10.‎ 答案:A 解析:由题意可得,y0=sin x0∈[-1,1],‎ 而由f(x)=可知y0∈[0,1],‎ 当a=0时,f(x)=为增函数,‎ ‎∴y0∈[0,1]时,f(y0)∈[1,].‎ ‎∴f(f(y0))≥>1.‎ ‎∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))=y0成立,故B,D错;‎ 当a=e+1时,f(x)=,当y0∈[0,1]时,只有y0=1时f(x)才有意义,而f(1)=0,‎ ‎∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故C错.故选A.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 注意事项:‎ 必须使用‎0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用‎0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.答案:10‎ 解析:由二项式展开系数可得,x2y3的系数为==10.‎ ‎12.答案:2‎ 解析:如图所示,在平行四边形ABCD中,+==2,‎ ‎∴λ=2.‎ ‎13.答案:‎ 解析:∵sin 2α=-sin α,‎ ‎∴2sin αcos α=-sin α.‎ 又∵α∈,∴cos α=.‎ ‎∴sin α=.‎ ‎∴sin 2α=,cos 2α=2cos2α-1=.‎ ‎∴tan 2α==.‎ ‎14.答案:(-7,3)‎ 解析:当x≥0时,令x2-4x<5,解得,0≤x<5.‎ 又因为f(x)为定义域为R的偶函数,则不等式f(x+2)<5等价于-5<x+2<5,即-7<x<3;故解集为(-7,3).‎ ‎15.‎ 答案:①④‎ 解析:由“中位点”可知,若C在线段AB上,则线段AB上任一点都为“中位点”,C也不例外,故①正确;‎ 对于②假设在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,如图所示,点P为斜边AB中点,设腰长为2,则|PA|+|PB|+|PC|=|AB|=,而若C为“中位点”,则|CB|+|CA|=4<,故②错;‎ 对于③,若B,C三等分AD,若设|AB|=|BC|=|CD|=1,则|BA|+|BC|+|BD|=4=|CA|+|CB|+|CD|,故③错;‎ 对于④,在梯形ABCD中,对角线AC与BD的交点为O,在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M,则在△MAC中,|MA|+|MC|>|AC|=|OA|+|OC|,‎ 同理在△MBD中,|MB|+|MD|>|BD|=|OB|+|OD|,‎ 则得,‎ ‎|MA|+|MB|+|MC|+|MD|>|OA|+|OB|+|OC|+|OD|,‎ 故O为梯形内唯一中位点是正确的.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.解:设该数列公差为d,前n项和为Sn.‎ 由已知,可得‎2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).‎ 所以,a1+d=4,d(d-‎3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.‎ 所以,数列的前n项和Sn=4n或Sn=.‎ ‎17.‎ 解:(1)由2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-‎ B)sin B-cos B=,‎ 即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=.‎ 则cos(A-B+B)=,即cos A=.‎ ‎(2)由cos A=,0<A<π,得sin A=,‎ 由正弦定理,有,‎ 所以,sin B=.‎ 由题知a>b,则A>B,故.‎ 根据余弦定理,有=52+c2-2×‎5c×,解得c=1或c=-7(舍去).‎ 故向量在方向上的投影为||cos B=.‎ ‎18.‎ 解:(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.‎ 所以,输出y的值为1的概率为,输出y的值为2的概率为,输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:‎ 输出y的值 为1的频率 输出y的值 为2的频率 输出y的值 为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.‎ ‎(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ=0)=,‎ P(ξ=1)=,‎ P(ξ=2)=,‎ P(ξ=3)=,‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以,Eξ=0×+1×+2×+3×=1.‎ 即ξ的数学期望为1.‎ ‎19.‎ 解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,‎ 因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.‎ 由已知,AB=AC,D是BC的中点,‎ 所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.‎ 因为AA1⊥平面ABC,‎ 所以AA1⊥直线l.‎ 又因为AD,AA1在平面ADD‎1A1内,且AD与AA1相交,‎ 所以直线l⊥平面ADD‎1A1.‎ ‎(2)解法一:‎ 连接A1P,过A作AE⊥A1P于E,过E作EF⊥A‎1M于F,连接AF.‎ 由(1)知,MN⊥平面AEA1,‎ 所以平面AEA1⊥平面A1MN.‎ 所以AE⊥平面A1MN,则A‎1M⊥AE.‎ 所以A‎1M⊥平面AEF,则A‎1M⊥AF.‎ 故∠AFE为二面角A-A‎1M-N的平面角(设为θ).‎ 设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.‎ 又P为AD的中点,‎ 所以M为AB中点,且AP=,AM=1,‎ 所以,在Rt△AA1P中,A1P=;在Rt△A1AM中,A‎1M=.‎ 从而,‎ ‎.‎ 所以sin θ=.‎ 所以cos θ=.‎ 故二面角A-A‎1M-N的余弦值为.‎ 解法二:设A‎1A=1.如图,过A1作A1E平行于B‎1C1,以A1为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合).‎ 则A1(0,0,0),A(0,0,1).‎ 因为P为AD的中点,‎ 所以M,N分别为AB,AC的中点.‎ 故M,N.‎ 所以=,=(0,0,1),=(,0,0).‎ 设平面AA‎1M的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 则即 故有 从而 取x1=1,则y1=,‎ 所以n1=(1,,0).‎ 设平面A1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),‎ 则即 故有 从而 取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1).‎ 设二面角A-A‎1M-N的平面角为θ,‎ 又θ为锐角,‎ 则cos θ=‎ ‎=.‎ 故二面角A-A‎1M-N的余弦值为.‎ ‎20.‎ 解:(1)由椭圆定义知,‎ ‎2a‎=|PF1|+|PF2|=,‎ 所以.‎ 又由已知,c=1.‎ 所以椭圆C的离心率.‎ ‎(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.‎ 设点Q的坐标为(x,y).‎ ‎(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.‎ ‎(2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.‎ 因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),‎ 则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22.‎ 又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.‎ 由,得 ‎,‎ 即.①‎ 将y=kx+2代入+y2=1中,得 ‎(2k2+1)x2+8kx+6=0.②‎ 由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.‎ 由②可知,x1+x2=,x1x2=,‎ 代入①中并化简,得.③‎ 因为点Q在直线y=kx+2上,‎ 所以,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.‎ 由③及k2>,可知0<x2<,即x∈∪.‎ 又满足10(y-2)2-3x2=18,‎ 故x∈.‎ 由题意,Q(x,y)在椭圆C内,‎ 所以-1≤y≤1.‎ 又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)2∈且-1≤y≤1,‎ 则y∈.‎ 所以,点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.‎ ‎21.‎ 解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).‎ ‎(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f′(x1),点B处的切线斜率为f′(x2),‎ 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f′(x1)f′(x2)=-1.‎ 当x<0时,对函数f(x)求导,得f′(x)=2x+2.‎ 因为x1<x2<0,‎ 所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1.‎ 所以2x1+2<0,2x2+2>0.‎ 因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即且时等号成立.‎ 所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2-x1的最小值为1.‎ ‎(3)当x1<x2<0或x2>x1>0时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2.‎ 当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12+a.‎ 当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y-ln x2=(x-x2),即y=·x+ln x2-1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1<0<x2知,-1<x1<0.‎ 由①②得,a=x12+-1=x12-ln(2x1+2)-1.‎ 设h(x1)=x12-ln(2x1+2)-1(-1<x1<0),‎ 则h′(x1)=2x1-<0.‎ 所以,h(x1)(-1<x1<0)是减函数.‎ 则h(x1)>h(0)=-ln 2-1,‎ 所以a>-ln 2-1.‎ 又当x1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大,‎ 所以a的取值范围是(-ln 2-1,+∞).‎ 故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln 2-1,+∞).‎
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