新课标备战高考数学文专题复习100102导数导数的应用3

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第100-102课时：第十三章 导数——导数的应用(3)‎ 课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)‎ 一．用导数求曲线的切线 函数在处导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率，也就是说，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。‎ 利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。‎ 用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。‎ 二．用导数求瞬时速度 ‎ 物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。‎ 利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。‎ 三．范例分析 例1．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。‎ 分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)‎ 即　　y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.‎ ‎　　抛物线焦点：F（,），它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。‎ ‎　　要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。‎ 解：显然，y0=ax+bx0+c ‎　　y'=2ax+b　 故在P点处切线斜率为2ax0+b，‎ ‎　　切线方程y－(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，‎ ‎　　亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.‎ ‎　　由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l ：y=2ax0x－ax 满足：焦点关于l的对称点为（m，n）.‎ ‎　　当x0≠0时，消去n. 知 m=x0.‎ ‎　　当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，‎ ‎　　故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.‎ 例2．求函数y=x4+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.‎ 分析：首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.‎ ‎　　y'=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.‎ ‎　　故切点：（0 , －2）‎ ‎　　‎ 一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l'与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l'间的距离，亦即A到l的距离.‎ ‎　　当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离，故距离最小距离为 ‎　上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为（0，2）。‎ 解：y'= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到 已知直线距离最近，为.‎ 例3．已知一直线l经过原点且与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求直线l的方程。‎ 分析： 设切点为（x0，y0），则y0＝x03－3x02＋2x0，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时，要注意对x0是否为0进行讨论。‎ 解：设直线l：y＝kx 。 ∵y'＝3x2－6x＋2， ∴y'|x=0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2相切于原点时，k＝2。‎ 若直线与曲线切于点(x0，y0) (x0≠0)，则k＝，∵y0＝x03－3x02＋2x0，‎ ‎∴=x02－3x0＋2，‎ 又∵k＝y'|＝3x02－6x0＋2，‎ ‎∴x02－3x0＋2＝3x02－6x0＋2，　∴2x02－3x0＝0，‎ ‎∵x0≠0，　∴x0＝，　∴k＝x02－3x0＋2＝－，‎ 故直线l的方程为y＝2x或y＝－x。‎ 例4．已知曲线及其上一点，过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），…，得到C的一列切线，，…，，…，相应的切点分别为，，…，，…。‎ ‎（1）求的坐标；‎ ‎（2）设到的角为，求之值。‎ 解：（1）设，过作C的切线。‎ C在处的切线的方程为：，代入，并整理得。‎ 即（舍去）或。‎ 由题意，，从而，（n∈N*）‎ 即；‎ ‎（2）的斜率。‎ 的斜率。‎ ‎。‎ 例5．在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s＝27t－0.45t2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？‎ 解：当火车运行速度为0时，火车停车。‎ v＝s'＝(27t－0.45t2)'＝27－0.9t，‎ 令27＝0.9t＝0，得t＝30（秒），‎ 则s＝27×30－0.45×302＝405（米），‎ 故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了‎405米。‎ 例6．求曲线y＝在横坐标为x0的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。‎ 分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值。‎ 解：由导数的定义可得y /＝－，则过()点的切线方程为，由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A(x0，0)，B(0，)。‎ 则|AB|2＝≥，‎ ‎∴|AB|≥，当且仅当，即x0＝±时，等号成立。故最短长度为。‎ 例7．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，‎ 直线PC与直线AO交于点M。又知当AP=时，点P的速度 为v，求这时点M的速度。（1984年·全国高考附加题）‎ 分析： 设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导。‎ 解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，‎ 由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈（0，π）。‎ ‎∵△APM∽△DCM，∴。‎ ‎∵DM=y- (1-cos)，DC=sin，∴ ‎ ‎ ∴。‎ 上式两边对时间t进行求导，则 。‎ ‎∴=‎ 当时，，代入上式得点M的速度。‎ 例8．已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若时，不等式恒成立．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求角的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）求实数的取值范围．‎ 解：(1)由知，在R上单调递增，‎ 恒成立，且，即且，， ‎ ‎ 当，即时，，‎ 时，时，，即当时，能使在R上单调递增，．‎ ‎(2)，由余弦定理：，，‎ ‎(3)在R上单调递增，且，‎ 所以，‎ 故，即，，即，即．‎ 例9．已知函数在区间单调递增，在区间单调递减.‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.‎ 解：（Ⅰ）由函数单调递减，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅲ）函数 四、专题训练 ‎1．一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5－3t2，则它在[1,+△t]内的平均速度为（ C ）‎ ‎（A）3△t+6 （B）－3△t+6 （C）3△t－6 （D）－3△t－6‎ 提示： 选（C）‎ ‎2．曲线y=x3－x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为 （ D ）‎ ‎　（A） （B） 　　 （C）　 （D）‎ 提示：y'=x2－2x.　 当x=1时，y'=－1　　　 选（D）‎ ‎3．设曲线在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 （ C ）‎ ‎ A．（3，9） B．（－3，9） C．（） D．（）‎ ‎4．某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ B ）‎ ‎ A．－1 B．－‎3 ‎C．7 D．13‎ ‎5．函数处的切线方程是 （ D ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6．某物体的运动方程为，则该物体在时的瞬时速率是（ A ）‎ ‎（A）36 （B）26 （C）14 （D）28‎ ‎7．曲线与曲线的公共切线的条数是 （ B ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 ‎8．曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（ B ）‎ ‎ A．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)‎ ‎9．给出下列命题：‎ ‎(1)若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；‎ ‎(2)若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则=4+2Δx ‎(3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；‎ ‎(4)y=2cosx+lgx，则y’=-2cosx·sinx+其中正确的命题有（ B ）‎ ‎ A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎8．函数处的切线方程是 （ D ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9．已知函数的图象与x轴切于点（1，0），则的极值为（ A ）‎ ‎ A．极大值，极小值0 B．极大值0，极小值 ‎ C．极小值－，极大值0 D．极大值－，极小值0‎ ‎10．已知二函数，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为 （ C ）‎ A．0 B．‎12 ‎C．0或12 D．4或1‎ ‎11．如果曲线处的切线互相垂直，则x0的值为 . （）‎ ‎12．曲线上一点M处的切线与直线垂直，则切线的方程是_______________________ 或 ‎13．求曲线y = sinx在点x=π处的切线方程。‎ 提示：根据导数的几何意义求出曲线y = sinx在点x=π处的切线斜率。‎ 解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k== -1，‎ ‎∴切线方程为 y- 0=- (x- π)，即x+y-π=0。‎ ‎14．求过点P（2，2）且与曲线y=x2相切的直线方程.‎ 解：y'=2x，过其上一点（x0，x）的切线方程为 ‎　　y－x=2x0(x－x0)，过P（2，2），故2－x=2x0（2－x0）‎ ‎　　x0=2±.　 故切线方程为y=(4±)x－(6±).‎ ‎15．由y=0，x=8，y=x2围成的曲边三角形，在曲线弧OB上求一点M，使得过M所作的y=x2的切线PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大。‎ 答案：（16/3，256/3）‎ ‎16．路灯距地面‎8m，一身高‎1.6m的人沿穿过灯下的直路以‎84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s为单位）‎ 解：.‎ ‎　　∴OM= 4BM ‎　　同理ON=4CN ‎　　两式相减，知，影长变化BM－CN= (OM－ON)‎ ‎　　=MN=·△t·‎84m/min ‎∴.‎ ‎17．已知直线y=3x+1是曲线y=x3－2x+a的一条切线，求a的值.‎ 解：y'=3x2－2.　　 令3x2－2=3，　 x=±.代入切线方程知y0=1±，‎ ‎　∴a=y0+2x0－x＝ .‎ ‎18．设曲线S：y=x3－6x2－x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P（x0，y0）求证：曲线S关于P点中心对称.‎ 解：y'=3x2－12x－1当x=2时有最小值.故P：（2, －12）.‎ ‎　　S在（2，－12）处的切线斜率最小，为－13.‎ ‎　　又y=(x－2+2)3－6(x－2+2)2－(x－2+2)+6‎ ‎　　=(x－2)3－13(x－2) －12‎ ‎　　故曲线C的图象按向量=(－2，+12)平移后方程为y'=x －13x'为奇数，关于原点对称，‎ 故P（2，－12）为曲线S的对称中心.‎ ‎19．曲线y=x(x+1)(2－x)上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.‎ 解：y=－x3+x2+2x　　　　 y'=－3x2+2x+2‎ ‎　　令y'＞0　　 知x∈(， )‎ ‎　　又x∈z 　∴x=0或1　　　　 ∴P点坐标为（0，0）或（1，2）.‎ ‎　　切线斜率k=2或1，‎ ‎　　切线方程为y=2x或y=x+1.‎ ‎20．曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1，在（3,4）点处的切线为l2：y=－2x+10，求曲线C的方程。‎ 分析：已知两点均在曲线C上，y'=3ax2+2bx+c　　　 (0)=c，　　 (3)=‎27a+6b+c ‎　　l1：y=cx+1　　　 　l2：y=(‎27a+6b+c)(x－3)+4‎ ‎　　与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=－，b=1.‎ 答案：C：y=－x3+x2+x+1.‎ 说明：求曲线过一点处的切线，先求斜率——即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.‎