上海市各地市高考数学联考试题分类大汇编函数与导数

上海市各地市高考数学联考试题分类大汇编函数与导数

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第3部分:函数与导数 一、选择题：‎ ‎16．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科) “函数在上为单调函数”是“函数在上有最大值和最小值”的（ A ）‎ ‎（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 [来源:学科网]‎ ‎（C）充要条件 （D）非充分非必要条件 ‎18．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)设函数、的零点分别为，则 ‎[答]（ D ）‎ ‎(A) . (B) . (C) . (D) .‎ ‎16. (上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知是上的增函数，那么a的取值范围是 ……………………………( D )‎ ‎ (A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [，3）．‎ ‎18. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知，，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有　　　 　 （　B　）‎ A．　　　　　　　　　B． 　‎ C． 　　　　　　　 D． ‎ 二、填空题：‎ ‎1．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)函数的定义域是 ．‎ ‎3．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知函数是函数的反函数，则 (要求写明自变量的取值范围)．‎ ‎8．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知，是方程的根，则= 1 ．‎ ‎1．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)函数的定义域是 ．　‎ ‎3．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知函数是函数的反函数，则 (要求写明自变量的取值范围)．‎ ‎1．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)函数的定义域是___ ．‎ ‎9．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)已知函数 有三个不同零点，则实数的取值范围为 ．‎ ‎12、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)关于的方程（）有唯一的实数根，则 3 ．‎ ‎14、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于 1 ．‎ ‎6. (上海市五校2011年联合教学调研理科设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 。‎ ‎13. (上海市五校2011年联合教学调研理科设表示不超过的最大整数，如，若函数，则的值域为 。{-1,0} ‎ ‎2．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)已知函数的定义域为，则此函数的值域为。‎ ‎11．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间长度的最大值与最小值的差为 3 。‎ ‎12．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)已知为常数，且，指数函数和对数函数的图象分别为与，点在曲线上，线段（为坐标原点）与曲线的另一个交点为，若曲线上存在一点，且点的横坐标与点的纵坐标相等，点的纵坐标是点的横坐标2倍，则点的坐标为。‎ ‎14．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：①函数的图象是中心对城图形；②对任意实数，均成立；③函数的图象与轴有无穷多个 公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数的图象与直线有无穷多个公共 点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数满足时，函数的图象与直线 有且仅有一个公共点。其中所有正确结论的序号是 ①②④⑤ 。‎ ‎1、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)函数的定义域是 ‎ ‎ ‎ ‎2．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)若函数与的图像关于直线对称，则 . 【】‎ ‎11. (上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知函数，若且，则的取值范围是 . 【】‎ ‎14. (上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知函数满足：①对任意，恒有成立；②当时，.若，则满足条件的最小的正实数是 　 　. 【，】‎ ‎1、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)函数的反函数 。 ‎ ‎3、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)函数的零点所在的区间为，则 2 。‎ ‎13、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是 。‎ ‎2. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)函数的反函数为　　　　　　．‎ 三、解答题：‎ ‎22．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科) (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．‎ ‎ 已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)．‎ ‎(1)求实数m的值，并写出区间D；‎ ‎(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；‎ ‎(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．‎ ‎22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．‎ 解 (1) ∵是奇函数，‎ ‎∴对任意，有，即．2分 ‎　化简此式，得．又此方程有无穷多解(D是区间)，‎ 必有 ‎，解得． ………4分 ‎∴． 5分 ‎(2) 当时，函数上是单调减函数．‎ 理由：令．‎ 易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，6分 ‎ 故在上是随增大而减小． 8分 ‎ 于是，当时，函数上是单调减函数． 10分 ‎(3) ∵，‎ ‎ ∴． 11分 ‎∴依据(2)的道理，当时，函数上是增函数， 12分 即，解得． 14分 ‎ 若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)‎ ‎∴必有． 16分 ‎ 因此，所求实数的值是．‎ ‎22．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．‎ ‎ 已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)．‎ ‎(1)求实数m的值，并写出区间D；‎ ‎(2)若底数满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；‎ ‎(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．‎ ‎22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．‎ 解 (1) ∵是奇函数，‎ ‎∴对任意，有，即． 2分 ‎　化简此式，得．又此方程有无穷多解(D是区间)，‎ 必有 ‎，解得． ………4分 ‎∴． 5分 ‎(2) 当时，函数上是单调增函数．‎ 理由：令．‎ 易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，7分 ‎ 故在上是随增大而减小． 9分 ‎ 于是，当时，函数上是单调增函数． 12‎ 分 ‎(3) ∵，‎ ‎ ∴． 13分 ‎∴由(2)知，函数上是增函数，即 ‎ ，解得． 16分[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)‎ ‎ ∴必有． 18分 ‎ 因此，所求实数的值是．‎ ‎23、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)（本题满分18分）‎ 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：‎ ‎①在内是单调函数；‎ ‎②当定义域是时，的值域也是．‎ 则称是该函数的“和谐区间”．‎ ‎（1）求证：函数不存在“和谐区间”．‎ ‎（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．‎ ‎（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）‎ ‎23、（18分）（1）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．‎ 若是已知函数的“和谐区间”，则……………4分 故、是方程的同号的相异实数根．‎ 无实数根，函数不存在“和谐区间”．………………6分 ‎（2）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．‎ 若是已知函数的“和谐区间”，则……………10分 故、是方程，即的同号的相异实数根．‎ ‎，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，‎ 当时，取最大值………………14分 ‎（3）如：和谐区间为、，当的区间；‎ ‎ 和谐区间为；‎ ‎ 和谐区间为；…………18分 阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举及形如的函数不给分．‎ 学校_______________________ 班级__________ 学号_________ 姓名______________ ‎ ‎…………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………‎ ‎20. (上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．‎ 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表；‎ 月数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ 污染度 ‎60‎ ‎31‎ ‎13‎ ‎0‎ ‎……‎ 污染度为 后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：‎ ‎，，，其中表示月数，分别表示污染度.‎ ‎（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；‎ ‎（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过？‎ ‎20.解：（1） （3分）‎ ‎ （6分）‎ 由此可得更接近实际值，所以用模拟比较合理. （7分）‎ ‎（2）因在上是增函数，又因为 （12分）‎ 故整治后有16个月的污染度不超过60. （14分）‎ ‎22. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分16分）‎ 第22题图 ‎（理）已知函数.‎ ‎（1）试判断的奇偶性并给予证明；‎ ‎（2）求证：在区间单调递减；‎ ‎（3）右图给出的是与函数相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0.请说明你的理由.‎ ‎22.（本题满分16分）‎ 解：（1）由得，‎ 则，任取，都有 ‎，则该函数为奇函数.‎ ‎（2）任取，‎ 则有，‎ ‎.‎ 又，所以，即，‎ 故函数在区间上单调递减.‎ ‎（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列要满足条件，‎ 则必有。‎ 由（1）知函数是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，‎ 所以要构造满足条件的等差数列，可利用等差数列的性质，只需等差数列满足：且即可.‎ 我们可以先确定使得，因为公差不为零的等差数列必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在中，即可满足要求. 所以只要对应的点尽可能的接近原点.如取，存在满足条件的一个等差数列可以是. ‎ ‎【说明】本问题结论开放. 我们可以将问题解决的方法一般化.‎ 设，，若，可得.‎ 而由题意，需（）.‎ 同理，若，则需.‎ ‎19、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为 ‎（1）、建立与的函数关系式，并写出的取值范围；（6分）‎ ‎（2）、圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确到0. ‎01m3‎) （6分）‎ S A O B ‎19、解：（1） 4分 ‎ 6分 ‎（2）依题意，作圆锥的高，是母线与底面所成的线面角， 7分 设圆锥高，， ‎ ‎ ， 9分 ‎ 11分 ‎ 答：所制作的圆锥形容器容积立方米 12分 ‎ ‎20、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)设函数.‎ ‎（1）、（理）当时，用函数单调性定义求的单调递减区间（6分）‎ ‎（文）当，解不等式 （6分）‎ ‎（2）、若连续掷两次骰子(骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）得到的点数分别作为和，求恒成立的概率； （8分）‎ ‎20、解：（1）（理）‎ 根据耐克函数的性质，的单调区间是 2分 所以的单调区间是 6分 ‎ ‎（文）（1） 3分 ‎ 6分 ‎（2） 8分 ‎ 10分 基本事件总数为，‎ 当时，b=1； ‎ 当时，b=1, 2,； ‎ 当时，b=1, 2,3； ‎ 目标事件个数为1+8+3=12. 因此所求概率为. 14分 ‎19．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科) (本题满分12分)‎ 如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮 ‎ 制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最 多盛水多少？（结果精确到‎0.1 cm3）‎ ‎19．(本题满分12分)‎ 解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=，由得 ‎；　　…………………………………………………………………2分 由得；………………………………………………………5分 由得；………………………………………………………8分 由 所以该容器最多盛水‎1047.2 cm3 …………………………12分 ‎（说明：用3.14得1046.7毫升不扣分）‎ ‎22、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)（本题满分16分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分。‎ 已知函数。‎ ‎（1）当时，画出函数的大致图像，并写出其单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在上是单调递减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22．解：（1）时，，的图象如图，图象画出，-------------------3分 单调递增区间为。-------------------6分 ‎（2）解一：设，‎ 当在上单调递减时，对都成立，-------------------8分 即，对都成立，-------------------10分 所以-------------------11分 解二：数形结合方法：时，-------------------8分 若函数在上是单调递减函数，则 -------------------10分 所以 -------------------11分 ‎（3）当时，成立，所以； -------------------12分 当时，，即，只要； -------------------13分 设，在上递减，在上递增，‎ 当时，；-------------------14分 所以 -------------------15分 综上， 对恒成立的实数的取值范围是。-------------------16分 ‎23．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”．‎ ‎（1）判断1是否为函数≤≤的“均值”，请说明理由；‎ ‎（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若函数是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．‎ ‎23．解：（1）对任意的，有， ‎ 当且仅当时，有， ‎ 故存在唯一，满足， ……………………2分 所以1是函数的“均值”． ……………………4分 ‎(另法：对任意的，有，令，‎ 则，且， ‎ 若，且，则有，可得，‎ 故存在唯一，满足， ……………………2分 所以1是函数的“均值”． ……………………4分）[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎（2）当时，存在“均值”，且“均值”为；…………5分 当时，由存在均值，可知对任意的，‎ 都有唯一的与之对应，从而有单调，‎ 故有或，解得或或， ……………………9分 综上，a的取值范围是或．　　　　　　　　　 ……………………10分 ‎（另法：分四种情形进行讨论）‎ ‎（3）①当I 或时，函数存在唯一的“均值”．‎ 这时函数的“均值”为； 　 …………………12分 ‎②当I为时，函数存在无数多个“均值”．‎ 这时任意实数均为函数的“均值”； 　　　 　　……………………14分 ‎③当I 或或或或或时，‎ 函数不存在“均值”． 　　　　　　　　　　　　　……………………16分 ‎[评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分][来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎①当且仅当I形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”．‎ 这时函数的“均值”为； 　 ……………………13分 ‎②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．‎ 这时任意实数均为函数的“均值”； 　　　 　　……………………16分 ‎③当且仅当I形如、、、、、其中之一时，函数不存在“均值”． 　　　　　　　　 　　　 　　……………………18分 ‎（另法：①当且仅当I为开区间或闭区间时，函数存在唯一的“均值”．这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数； ……………………13分 ‎②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数的“均值”； ……………………16分 ‎③当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时，函数不存在“均值”． ……………………18分）‎ ‎[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]‎