上海市高考一模数学试题长宁数学文理

上海市高考一模数学试题长宁数学文理

长宁区2012学年第一学期高三数学质量调研试卷 一、填空题（本大题满分56分）‎ ‎1、计算：= ‎ ‎2、记函数的反函数为如果函数的图像过点,那么函数的图像过点 ‎3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为 . （结果精确到）‎ ‎4、展开式中含项的系数为 . ‎ ‎5、设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），‎ 则 ‎ ‎6、（理）已知，为的共轭复数，若（是虚数单位），则 ．‎ ‎(文)已知z为复数，且，则z= ‎ ‎7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为 ‎ ‎8、阅读如图所示的程序框图，输出的S值为 ‎9、已知的面积为，则的周长等于 ‎10、给出下列命题中 ‎① 非零向量满足，则的夹角为；‎ ‎② ＞0，是的夹角为锐角的充要条件；‎ ‎③ 将函数y =的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y ‎ ‎=；‎ ‎④ 在中，若，则为等腰三角形；‎ 以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）‎ ‎11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是 。‎ ‎（文）已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．‎ ‎12、 （理）设，若恒成立，则k的最大值为 ‎ ‎（文）已知向量==,若，则的最小值为 ;‎ ‎13、（理）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ‎（文）设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 .‎ ‎14、（理）给出定义：若(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数f (x) = | x – {x}|的四个命题：‎ ‎①函数y = f (x)的定义域是R，值域是；②函数y = f (x)的图像关于直线x =(k∈Z)对称；③函数y = f (x)是周期函数，最小正周期是1；④函数y = f (x)在上是增函数. 则其中真命题是____________(写出所有真命题的序号).‎ ‎（文）已知数列满足，且，且，则数列中项的最大值为 二、选择题（本大题满分20分）‎ ‎15、“φ＝”是“函数y=sin(x＋φ)为偶函数的”（ ）‎ A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件 ‎16、若，则必定是 （ ）‎ ‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎17、已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎18、（理）函数，的图象可能是下列图象中的 （ ）[来源:学#科#网]‎ ‎（文）已知函数 ,若则实数的取值范围是（ ）‎ A B C D ‎ 三、解答题（本大题满分74分）‎ ‎19、（本题满分12分）已知，满足． ‎ ‎（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；‎ ‎（2）（理）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．‎ ‎（文）当时，恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎20、（本题满分12分）如图，△中，， ，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。‎ ‎（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；‎ ‎（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．‎ B M N C A O 第20题 ‎21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.‎ ‎(1)当时，求函数的表达式；‎ ‎(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）‎ ‎（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。‎ ‎ （1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；‎ ‎ （2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）‎ ‎22． (本小题满分18分) （理）已知函数 。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（1）求函数的定义域和值域；‎ ‎（2）设（为实数），求在时的最大值；‎ ‎（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎（文）已知二次函数。‎ ‎（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。‎ ‎23．（本题满分18分）‎ ‎ （理） 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且 ‎（1）若k=1，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；‎ 若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，‎ 求 ‎（文）设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.‎ ‎（1）求的通项公式和；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ 长宁区2012学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案 一、填空题（每小题4分，满分56分）‎ ‎1、 2、 3、 4、1 5、 6、（理）， （文）‎ ‎7、 8、 9、 10、①③④ ‎ ‎11、（理），（文） 12、（理），（文） 13、（理） ，（文） ‎ ‎14、（理）①②③，（文）1‎ 二、选择题（每小题5分，满分20分）‎ ‎15、 16、 17、 18、‎ 三、解答题 ‎19、解（1）由得 …………3分 即 所以，其最小正周期为． …………6分 ‎（2）（理）因为，则[来源:学科网ZXXK]‎ ‎.因为为三角形内角，所以…………9分 法一：由正弦定理得，，‎ ‎，，，‎ 所以的取值范围为 …………12分 法二：，因此，‎ 因为，所以，，‎ ‎.又，所以的取值范围为 …………12分 ‎（文）（2）,因此的最小值为，…………‎ ‎9分 由恒成立，得，‎ 所以实数的取值范围是. ………12分 ‎20、解（1）连接，则 ‎， …………3分 设，则 ‎，又，所以，…………6分 所以， …………8分 ‎（2）…………12分 ‎21、（理）解（1）由题意：当时，；‎ 当时，设 …………………………2分 ‎ 再由已知得解得 …………………………4分[来源:学科网]‎ ‎ 故函数v(x)的表达式为………………7分 ‎（2）依题意并由（1）可得， …………9分 ‎ 当时，为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立. ‎ ‎ 所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值. …12分 ‎ 综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值. ‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. ‎ ‎ …………………………14分 ‎（文）解：（1） ………………………………………3分 ‎ 由基本不等式得 ‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立 ……………………6分 ‎∴，成本的最小值为元． ……………………7分 ‎（2）设总利润为元，则 ‎ ……………10分 ‎ ‎ 当时, ……………………………………………………13分 答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元．… ……14分 ‎22、（理）解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分 又由≥0 得值域为 …………4分 ‎（2）因为 令，则，‎ ‎∴()+t= …………6分 由题意知g(a)即为函数的最大值。‎ 注意到直线是抛物线的对称轴。…………7分 因为a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，‎ ‎①若，即则 …………8分 ‎②若，即则…………10分 ‎③若，即则 …………11分 综上有 …………12分 ‎（3）易得， …………14分 由对恒成立，‎ 即要使恒成立，…………15分 ‎，令，对所有的成立，‎ 只需 …………17分 求出m的取值范围是. …………18分 ‎（文）解：（1）当时，，不合题意；……………1分 当时，在上不可能单调递增；……………2分 当时，图像对称轴为，‎ 由条件得，得 ……………4分 ‎（2）设， ……………5分 当时，， ……………7分 因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，‎ 所以， ， ……………9分 解得。 ……………10分 ‎（3）在上是增函数，设，则，‎ ‎，，……………12分 因为，所以， ……………14分 而， ……………16分 所以 ……………18分 ‎23、（理）解：（1）因为 所以其值域为 …………2分 于是 …………4分 ‎ 又 …………6分 ‎（2）因为 所以……8分 法一：假设存在常数，‎ 使得数列，…………10分 得符合。…………12分 法二：假设存在常数k＞0，使得数列满足当k=1不符合。……7分 当，…………9分 则当 ‎ …………12分 ‎（3）因为所以的值域为 …………13分 于是 则 …………14分 因此是以为公比的等比数列，‎ 又则有 …………16分 ‎ ‎ 进而有 ‎…………18分 ‎（文）解：（1）设数列的公差为，由,‎ ‎.解得，=3 ， ……………2分 ‎ ∴ ……………4分 ‎∵， ∴Sn==. ……………6分 ‎（2） ‎ ‎∴ ……………8分 ‎∴ ……………10分 ‎（3）由(2)知， ∴，，∵成等比数列.‎ ‎ ∴ ……………12分 ‎ 即 ‎ 当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意；‎ 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；‎ 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；‎ ‎……………15分 当时， ，则，而，‎ 所以，此时不存在正整数m,n,且1

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