2014北京四中高考总复习集合的概念和运算知识梳理

2014北京四中高考总复习集合的概念和运算知识梳理

数学高考总复习：集合的概念和运算 ‎【考纲要求】‎ 1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；‎ 2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；‎ 3、 学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。‎ ‎【知识网络】‎ 集 合 集 合 表 示 法 集 合 的 关 系 集 合 的 运 算 描 述 法 图 示 法 列 举 法 相 等 包 含 交 集 并 集 补 集 子集、真子集 ‎【考点梳理】‎ ‎1、集合的概念：‎ （1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；‎ （2） 集合的分类：‎ ① 按元素个数分：有限集，无限集；‎ ‎ ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}‎ 表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；‎ （1） 集合的表示法：‎ ‎ ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。‎ ‎2、两类关系：‎ （1） 元素与集合的关系，用或表示；‎ ‎ （2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。‎ ‎3、集合运算 ‎ （1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；‎ （2） 运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），‎ CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：集合的概念、性质与运算 例1、已知集合，，则=（ ）‎ A．{-1，1} B．{0} c．{-l} D．{-l，0}‎ 答案：C 解析：集合，‎ 所以，选C。‎ 点评：集合需要通过求解一个指数不等式得到。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知集合，，则 ‎ A． B． C. D.‎ 答案: A 解析：集合表示一个正方形区域；集合表示一个圆形区域，且点只在中。‎ 类型二：集合的两种关系 例2、已知集合，‎ ‎ （1）若，求实数的值；‎ ‎ （2）若，求实数的取值范围。‎ 解析：，‎ ‎ （1）因为，所以 ‎ （2） ‎ ‎ 因为，所以，或，所以，或 点评：数形结合是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面。‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：集合 思考题1（1）】【变式】设2011∈{x，，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．7 D．8‎ ‎【答案】由题意得x＝－2011或x＝－，所以集合{－2011，－}的真子集有22－1＝3个．选A。‎ 例3．（1）设全集U={不超过5的自然数}，A={x|x2-5x+6=0}，B={x|x2-7x+12=0}，则A∩B= ，‎ A∪B= ，= ，= ；‎ ‎（2）设全集，已知，，则Ｍ∩Ｎ= ，‎ ‎= 。‎ ‎ 解析：‎ ‎（1）方法一：‎ U={0，1，2，3，4，5}，A={2，3}，B={3，4}，则 A∩B={3}，A∪B={2，3，4}，={0，1，3，4，5}，={0，1，5}.‎ 方法二：用韦恩图示：‎ 由图知A∩B={3}，A∪B={2，3，4}，={0，1，3，4，5}，={0，1，5}.‎ ‎（2）由不等式，得Ｍ=(-，1)，由不等式，得Ｎ=(-1，+)，‎ 因而Ｍ∩Ｎ=(-1，1)，，.‎ 点评：‎ ‎1.本题主要考察集合的交、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种表示语言要熟悉。‎ ‎2. 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计算.‎ ‎3. 对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法，而对不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：集合 例1（2）】【变式1】若集合A＝{y|y＝3x＋1}，B＝{x|}，则A∩B＝(　　)‎ A．∅ B．[－1,0)‎ C．(0,1] D．[－1,1]‎ ‎【答案】C ‎【高清课堂：集合 思考题2】【变式2】设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，‎ x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①②‎ 类型三：分类讨论的集合问题 例4.设函数的定义域为D。（1），求使的概率；（2），求使的概率.‎ ‎　　解析：（1） 的所有可能为：（1，1），（1，2），‎ ‎（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），‎ ‎（4，3）共计12种。‎ 而 ‎ 那么满足D=R的的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），‎ ‎（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共计9种，∴其概率 ‎ ‎ （2）∴所有的点构成的区域的面积=12‎ ‎ 而 ‎ 满足构成的区域的面积为7，故所求概率．‎ 点评：在一定条件约束下求参数的问题，体现了分类讨论的数学思想。另外本题稍微涉及到一点概率知识。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知集合，‎ 若，求实数m的取值范围．‎ ‎　　【答案】由不等式恒成立，‎ 可得　　， （※）‎ ‎　　（1）当，即时，（※）式可化为，显然不符合题意．‎ ‎　　（2）当时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足 即 ‎　　解得　．‎ ‎　　集合B是不等式的解集，‎ ‎　　可求得，‎ ‎　　结合数轴，只要即可，解得　．‎