高考数学人教a版理科题库二项分布与正态分布含答案

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第8讲 二项分布与正态分布 一、选择题 ‎1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为(　　)‎ A．0.6 B．0.7‎ C．0.8 D．0.66‎ 解析 甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，‎ P(AB)＝0.12，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝0.6.‎ 答案 A ‎2． 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析 本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝，P(B)＝，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P()·P()＝1－×＝.‎ 答案 C ‎ ‎3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是 (　　)．‎ A．[0.4,1] B．(0,0.4]‎ C．(0,0.6] D．[0.6,1]‎ 解析　设事件A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥‎ ‎0.4，故选A.‎ ‎ 答案　A ‎4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.‎ ‎∵X～N(0,1)，∴μ＝0.‎ ‎∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，‎ ‎∴P(－11)＝0.682 6.‎ ‎∴P(－1σ)‎ ‎＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，‎ ‎∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，‎ ‎∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.‎ ‎∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．‎ ‎∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，‎ ‎∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)‎ ‎＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，‎ ‎∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，‎ 即130分以上的人数约为9人．‎ ‎12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．‎ ‎(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？‎ ‎(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？‎ 解　设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．‎ 则μ＝60，σ＝10.‎ ‎(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.‎ ‎∴P(X＞90)＝[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3‎ ‎∴学生总数为：＝10 000(人)．‎ ‎(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.‎ 设分数线为x.‎ 则P(X≥x0)＝0.022 8.‎ ‎∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.‎ 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.‎ ‎∴x0＝60＋2×10＝80(分)．‎ ‎13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 %.‎ ‎(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；‎ ‎(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)‎ 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝.‎ X的分布列为 X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9.‎ ‎(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．‎ 由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)‎ ‎＝×＋×＋×＝.‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.‎ ‎14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．‎ ‎(1)求该射手恰好命中一次的概率；‎ ‎(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．‎ 解　(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.‎ 由题意，知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，‎ 由于A＝B ＋C＋ D，‎ 根据事件的独立性和互斥性，得 P(A)＝P(B ＋C＋ D)‎ ‎＝P(B )＋P(C)＋P( D)‎ ‎＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)‎ ‎＝××＋××＋×× ‎＝.‎ ‎(2)根据题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得 P(X＝0)＝P( )‎ ‎＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]‎ ‎＝××＝；‎ P(X＝1)＝P(B )＝P(B)P()P()‎ ‎＝××＝；‎ P(X＝2)＝P( C＋ D)＝P( C)＋P( D)‎ ‎＝××＋××＝；‎ P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)‎ ‎＝××＋××＝；‎ P(X＝4)＝P(CD)＝××＝，‎ P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.‎