2020年高考数学一轮复习 专题4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2020年高考数学一轮复习 专题4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1 第 05 节 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 A 基础巩固训练 1.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象(　　) A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 【答案】B 2.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此函数可知，这段时 间水深（单位：m）的最大值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解 析】由图象知： ，因为 ，所以 ，解得： ，所以这段时间水深的最大 值是 ，故选 C． 3．【2018 江西南昌上学期高三摸底】函数 的图像可以由函数 的图像经过 A. 向右平移 个单位长度得到 B. 向右平移 个单位长度得到 3sin( )6y x k π ϕ= + + min 2y = min 3y k= − + 3 2k− + = 5k = max 3 3 5 8y k= + = + = sin 2 6y x π = +   cos2y x= 6 π 3 π 2 C. 向左平移 个单位长度得到 D. 向左平移 个单位长度得到 【答案】A 【解析】 函数 的图像向右平移 ，故选 A. 3.【2018 届浙江省杭州市第二中学仿真】函数 f(x)＝sin(wx＋ )(w＞0， ＜ )的最小正周期是 π，若将该函 数的图象向右平移 个单位后得到的函 数图象关于直线 x＝ 对称，则函数 f(x)的解析式为（ ） A. f(x)＝sin(2x＋ ) B. f(x)＝sin(2x－ ) C. f(x)＝sin(2x＋ ) D. f(x)＝sin(2x－ ) 【答案】D 【解析】分析：由函数的周期求得 ，再由平移后的函数图像关于直线 对称，得到 ，由此求得满足条件的 的值，即可求得答案. 详解：因为函数 的最小正周期是 ， 所以 ，解得 ，所以 ， 将该函数的图像向右平移 个单位后， 得到图像所对应的函数解析式为 ， 由此函数图像关于直线 对称，得： ，即 ， 取 ，得 ，满足 ， 所以函数 的解析式为 ，故选 D. 4.【2018 辽宁省沈阳市东北育才学校上学期第一次模拟】若将函数 的图像向左平移 个单位长 度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6 π 3 π  cos2 sin 2 2y x x π = = +   ∴ cos2y x= 2 3 2 6 π π π− = ( ) 1 cos22f x x= 6 π ,012 π     ,06 π     ,03 π     ,02 π     3 【解析】向左平移 个单位长度后得到 的图像，则其对称中心为 ,或 将选项进行逐个验证,选 A. 5.将函数 f(x)＝sinωx(其中 ω＞0)的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于 对称，则 ω 的最小值 是 A.6 B. C. D. 【答案】D 【解析】将 f(x)＝sinωx 的图象向左平移 个单位， 所得图象关于 x＝ ，说明原图象关于 x＝－ 对称， 于是 f(－ )＝sin(－ )＝±1，故 (k∈Z)，ω＝3k＋ (k∈Z)，由于 ω＞0，故当 k＝0 时取得最小值 .选 D B 能力提升训练 1.【2018 届安徽省淮南市二模】将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 ，则函数 的图象的一个对称中心是( ) A. B. C. D. 【答案】D 即函数的对称中心为（ ， ）， 6 π 1 cos 22 3y x π = +   ( ),012 2 k k Z π π + ∈   2 π 6x π= 2 3 9 4 3 4 2 π 6 π 2 3 π 2 3 π 2 3 ωπ 2 3 2k ωπ ππ= + 3 4 3 4 4 当 k=1 时，对称中心为 . 故答案为：D 2.【2018 四川省成都七中上学期入学】将函数 的图象向左平移 个单位长度后， 所得函数 的图象关于原点对称，则函数 在 的最大值为（） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度后， 可得函数 的图象，根据所得图象关于原点对称， 可得 . 在 上, ,故当 时,f(x)取得最大值为 1， 本题选择 D 选项 . 3.已知函数 ， ，其中 ， ．若 的最小正周期为 ，且当 时， 取得最大值，则（ ）． A． 在区间 上是增函数 B． 在区间 上是增函数 C． 在区间 上是减函数 D． 在区间 上是减函数 【答案】A 【解析】由已知 ， ，因 ，故 ， ( ) ( )sin 2 2f x x πϕ ϕ = + <   3 π ( )g x ( )f x 0, 2 π     1 2 3 2 ( ) ( )sin 2 2f x x πϕ ϕ = + <   3 π ( ) 2sin 2 3g x x π ϕ = + +   ( )2 , , sin 23 3 3f x x π π πϕ π ϕ  + = ∴ = = +   0, 2 π     42 ,3 3 3x π π π + ∈   2 3 2x π π+ = ( ) ( )2sinf x xω ϕ= + x∈R 0ω > π πϕ− < ≤ ( )f x 6π π 2x = ( )f x ( )f x [ ]2π,0− ( )f x [ ]3π, π− − ( )f x [ ]3π,5π ( )f x [ ]4π,6π 3 1 6 2 == π πω ππϕϕππ kf 231)6sin(2)2( +=⇒=+⇒= π πϕ− < ≤ 3 πϕ = 5 ，由 得 ， ，故单 调增区间为 ，由 得 ，故单调减区间为 ，结合选项，故选 A. 4.【2018 届安徽省六安市第一中学高三下 学期适应性】已知函数 ，将 的图象向 右平移 个单位所得图象关于点 对称，将 的图象向左平移 个单位所得图象关于 轴对称，则 的值 不可能是 A. B. C. D. 【答案】B 5.已知 ，且 在区间 有最小值，无最大值，则 ＝ __________． 【答案】 . )3 1sin(2)( π+= xxf ]22,22[33 1 πππππ kkx ++−∈+ ]62 1,62 5[ ππππ kkx ++−∈ )( Zk ∈ ]62 1,62 5[ ππππ kk ++− )( Zk ∈ ]22 3,22[33 1 πππππ kkx ++∈+ )](62 7,62 1[ Zkkkx ∈++∈ ππππ )](62 7,62 1[ Zkkk ∈++ ππππ ( ) sin ( 0)3 6 3f x x f fω ωπ π π     = + > =          ， ( )f x 6 3 π π    ， ω 14 3 6 【解析】如 图 所 示 ， ， 且 ， 又 f（ x） 在 区 间 内 只 有 最 小 值 、 无 最 大 值 ， 在 处 取 得 最 小 值 ． . 又 ∵ ω ＞ 0， ∴ 当 k=1 时 ， ； 当 k=2 时 ， ， 此 时 在 区 间 内 已 存 在 最 大 值 ． 故 ． 故 答 案 为 ： ． C 思维扩展训练 1.【2018 湖北部分重点中学高三 7 月联考】已知函数 ，若 的图象向左平移 个单位所得的图象与 的图象向右平移 个单位所得的图象重合，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】由题意得 ，选 C. 2.【2017 课标 1，理 9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲 )3sin()( πω += xxf )3()6( ππ ff = 6 3 π π    ， )(xf∴ 42 36 π ππ = + )(3 108).(,2234 zkkzkk ∈−=∴∈−=+∴ ωπππωπ 3 14 3 108 =−=ω 3 38 3 1016 =−=ω 6 3 π π    ， 3 14=ω 14 3 ( ) ( )sin ( 0)f x xω ϕ ω= + > ( )f x 3 π ( )f x 6 π ω ( )*π π 2 π 4 43 6 k k N kω ω ω ⋅ − ⋅ − = ∈ ∴ = ≥   2π 3 π 6 π 12 7 线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲 线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲 线 C2 【答案】D 【解析】 3.【2018 湖北部分重点中学高三起点】已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则 A. B. C. D. 【答案】A 4. 【2018 黑龙江省齐齐哈尔八中 8 月月考】将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 ， 则 具有性质（ ） 1 2 π 6 1 2 π 12 ( ) cos2f x x= − 4 π ( )g x ( )g x 8 A. 最大值为 1，图像关于直线 对称 B. 周期为 ，图像关于点 对称 C. 在 上单调递增，为偶函数 D. 在 上单调递减，为奇函数 【答案】D 【解析】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象， 显然,g(x)为奇函数，故排除 C. 当 时,f(x)=0,不是最值,故 g(x)的图象不关于直线 x= 对称，故排除 A. 在(0, )上,2x∈(0, ),y=sin2x 为增函数,故 g(x)=−sin2x 为单调递减， 且 g(x)为奇函数，故 D 满足条件. 当 x= 时,g(x)= ,故 g(x)的图象不关于点( ,0)对称，故排除 B， 故选：D. 5.【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考】已知函数 的最小正周期为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，求 函数 在区间 上的最值． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)1. 【解析】试题分析; (Ⅰ) 1 利用二倍角公式化简函数表达式，通过函数的周期公式，求 的值 (Ⅱ) 利用平移规律确定出 解析式，根据 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出函 数 在区间 上的最值． 2x π= π 3 ,08 π     3 ,8 8 π π −   0, 4 π     ( ) cos2f x x= − 4 π ( )g x cos2 x sin2x4 π = − − = −   πx 2 = π 2 4 π 4 π 3 8 π 3 2 − 3 8 π ( ) 2sin cos cosf x x x xω ω ω= + ( 0)ω > π ω ( )y f x= 1 2 ( )y g x= ( )y g x= ,04 π −   1ω = ω g x（ ） x ( )y g x= ,04 π −   9 试题 解析：(Ⅰ) ,所以 (Ⅱ) 当 时， 所以 ； ( ) 2 1sin 22 4 2f x x πω = + +   2 2T π πω= = 1ω = ( ) ( ) 2 12 sin 42 4 2g x f x x π = = + +   ,04x π ∈ −   34 ,4 4 4x π π π + ∈ −   ( )min 3 1 2 16 2g x g π − = − =   ( ) ( )max 0 1g x g= =